07魅力无限的焦点三角形(解题篇)-《中学生数理化》高二数学2022年2月刊

中学生数理代三数学经魏题率方法 魅力无限的焦点三角形 ■湖北省巴东县笫三高级中学廖庆伟 出现,常考题型是求离心率、角度、面积、最线C:x2y2=1(a>0,b>0)的一条渐近线 与焦点三角形有关的问题在双曲线中经 值、焦点弦、距离等问题。解题时一般用到定与直线x+2y+1=0垂直,F1,F2为双曲线 义、正弦定理或余弦定理,也涉及三个基本量 的焦点,A为双曲线C上一点,若|F 间的关系,故要仔细审题,选准解题方法。 2|F2A|,则cos∠AF2F1等于()。 、离心率问题 例1设F1、F2分别是双曲线 解析:因为双曲线的一条渐近线与直线 1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支x+2y+1=0垂直,所以b=2a 上存在一点P,使(OP+OF2)·F2P=0,O 又|F1A|=2|F2A|,且|F1A|-|F 为坐标原点,且PF1|+|PF2|=(4+23)a,则 a,所以F2A|=2a,|F1A|=4a。 该双曲线的离心率为()。 从而c2=5a2,则2c=2/5a。 ∠AF2F1 A.3+1 B F1F2|2+|F2A|2-F1A|2 2FF C.6+2 D 20a2+4a2-16a2/5 解析:由(OP+OF2)·F2P=0,得 2×2/5a×2a (OP+OF2)·(OP-OF2)=0,即|OP|2 点评:在“焦点三角形”中,常利用正弦定 OF2|2=0,所以OP|=OF2|=c 理、余弦定理,并且结合|PF PF2 在△PF1F2中,边F1F2上的中线等于2a,经常运用平方的方法解题。 F1F2的一半,则PF1⊥PF2,即|PF1|2+ 三、面积问题 PF2|2=4c2。由|PF1|-|PF2|=2a,及题 例 是双曲线 意可得|PF ③|PF2|=(3+/3)a 的左、右焦点,P是双曲线在第一象限内的 点,且3|PF1|=4|PF2,则△PF1F2的面 则|F1F21=2c,且|F1F2|=2|PF2,所积等于( 2B.83C.24 点评:解决双曲线的离心率的求值及范 围问题的关键就是确立一个关于a,b,c的方 解析:由题意知 PF1-1PF21=2解 3|PF1|=4|PF2|, 程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得 PF1|=8, 不等式时,要充分利用双曲线的几何性质、点 的坐标的取值范围等知识。 又由|F1F2|=10,可得△PF1F2是直角 角度问题 角形,则 IPF PF2=24。 例2(2021年安徽黄山市一诊)双曲 故选C。 酸方片中學生数理化 点评:在应用双曲线定义时,要注意定义 中的条件,搞清所求轨迹是双曲线还是双曲 2/PF1 线的一支,若是双曲线的一支,则需确定是哪 I PFII PF1|=2时,等号成立 四、取值范围与最值问题 所以 I PF2 的最大值为 例4已知M(x。,y。)是双曲线C 点评:用基本不等式求最值,应注意等号 2y=1上的一点,F1、F2是双曲线C的成立的条件。 左、右焦点。若MF1·MF2<0,则y。的取 五、焦半径问题 值范围是()。 例6设P是双曲线16-20=1上 点,F1、F2分别是双曲线左、右两个焦点,若 I PF 解析:由题意知|PF1|=9<a+c=10, 所以P点在双曲线的左支,则有|PF2 解析:由题意知a=2,b=1,c=/3。 设F1(-3,0),F2(3,0),则MF1= 故|PF2=|PF1|+8=17 点评:圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲 因为MF1·MF2<0,所以(-/3-x0) 线焦点的连线段,叫作圆锥曲线的焦半径 (/3-x0)+y2<0,即x3-3+y3<0 圓锥曲线上一点到焦点的距离不是定值 因为点M(x0,y。)在双曲线C上,所以 六、距离问题 例7已知O为坐标原点,设F1、F2 1,即x2=2+2 分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点,P为 所以2+2y +y<0,解得、A③ 双曲线左支上任一点,过点F1作∠F1PF 的平分线的垂线,垂足为H,则OH 故选A 解析:如图1所示, 延长F1H交PF2于点 点评:点在双曲线上,则点的坐标满足 Q 曲线方程 由PH为∠F1PF 例5已知动点P在双曲线C 的平分线及PH⊥F1Q, 3=1上,双曲线C的左、右焦点分别为F 可知PF1|=PQ|。 F2,当动点P在双曲线C的左支上时, 根据双曲线的定义 得|PF2-PF1=2,从而|QF2|=2 PF 的最大值为 PE 在△F1QF2中,易知OH为中位线,故 解析:当动点P在双曲线C的左支上 OH|=1 时,则|PF1|≥c =1,|PF2=2a+ 点评:双曲线x2-y2=1是等轴双曲线, PF1|=|PF1|+2 其离心率为,渐近线方程为y=±x,角平 所以 I PFI PFII 分线上的点到角的两边的距离相等。注意 I P