精品解析：广东省梅州市丰顺县、五华县2022届高三上学期一模数学试题

2022年1月高三级质检试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，其中a，，虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 3. 在中，若，，，则=（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 将正弦函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．则图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 7. 已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则点F到直线PO的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有（ ） A. 34种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分．在每题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分． 9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图（如图）： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B. 该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元 C. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 D. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 10. 下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（ ） A B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线与平行，则k的值是3 B. 直线与圆的位置关系为相交 C. 圆上到直线的距离为的点共有3个 D. 已知AC、BD为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD的面积的最大值为10 12. 在菱形ABCD中，，，将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，则下列说法正确的是（ ） A. 四面体ABCD的体积的最大值是 B. 四面体ABCD中BD的取值范围是 C. 四面体ABCD的表面积的最大值是 D. 当时，若折成的四面体ABCD内接于球O，则球O的体积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量满足，与的夹角为，则________． 14. 已知，则曲线在处的切线方程是______． 15. 已知椭圆，点在直线（c为椭圆的半焦距）上，过点P且斜率的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率为______． 16. 数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设数列的前n项和为，满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求的前n项和． 18. 如图，在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，，，，M，N分别是AB，AD的中点． （1）证明：平面PMN⊥平面PAD； （2）若二面角的大小为60°，求四棱锥的体积． 19. 某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分．现从全市学生中随机抽查了10名学生成绩，分别为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97． （1）已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差； （2）已知全市学生学习成绩分布服从正态分布，某校实验班学生30人． ①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在的学生人数（结果四舍五入取整数）； ②为参加学校举行数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在的学生参加预选赛，若每个学生通过预选赛的概率为，用随机变量X表示通过预选赛的人数，求X的分布列和数学期望．（正态分布参考数据：，） 20. 已知函数． （1）若且，求的值； （2）记函数在上最大值为b，且函数在上单调递增，求实数a的最小值． 21. 已知椭圆的左焦点为圆的圆心A． （1）求椭圆C的方程； （2）与x轴不重合的直线l经过椭圆C的右焦点B，与椭圆交于M、N两点，过B且与l垂直的直线交圆A交于P、Q两点，求