第07讲 一元二次方程（知识点梳理）（记诵版）-【学霸计划】2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

第07讲 一元二次方程知识点梳理 考点01 一元二次方程相关概念 1.一元二次方程的定义：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。 2.一元二次方程必须满足的3个条件： （1）必须是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2； 3.一元二次方程的一般形式：我们把称为一元二次方程的一般形式，其中分别称为二次项、一次项和常数项；分别称为二次项系数和一次项系数。 2.一元二次方程的特殊形式： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，； 3.一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的根。 4.方程根的定义在解题时的应用： （1）判断一个值是否是一元二次方程的根； （2）已知方程的根求一元二次方程中字母系数的值； 考点02 一元二次方程的解法 一、直接开平方法 1.概念：如果，那么，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。 2.用直接开平方法解一元二次方程的步骤： （1）将方程化成的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数； （2）当时，两边直接开平方即可求出它的根；当时，一元二次方程无实数根； 二、配方法 1.概念：先对原一元二次方程进行配方，使它出现完全平方式后，再用直接开平方法来求解的方法。 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）把一元二次方程化成一般形式； （2）把常数项移到方程的右边； （3）方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1； （4）配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化成的形式； （5）用直接开平方法解一元二次方程； 三、公式法 1.求根公式的定义：一般地，对于一元二次方程，当时，一元二次方程的根是，这个式子称作一元二次方程的求根公式。 2.求根公式的推导： 一元二次方程求根公式的推导过程实际就是用配方法解一元二次方程， 两边同除以，得： 移项得：； 方程两边同时加上； 得：； 化简得：； 因为； 所以当时， 可得： ； 3.用公式法解一元二次方程的步骤： （1）先将方程化为一般形式：，确定的值； （2）计算：的值，从而确定原方程是否有实数根； （3）若，则把以及的值代入求根公式，求出；若，则方程没有实数根。 四、因式分解法 1.因式分解法的概念：将一个一元二次方程通过因式分解，转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法。 2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程的右边化为0； （2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； （3）令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解； 3.用因式分解法解一元二次方程的关键： （1）一定要将方程的右边化为0； （2）方程左边要能分解为两个含未知数的一次因式的积。 五．选择合适的方法解一元二次方程 1.选择原则：首先要看因式分解法或直接开平方法是否可行，其次考虑公式法，一般不用配方法。 2.配方法适用于任何一个一元二次方程，但过程比较麻烦。 3.公式法可利用其导出的求根公式直接求解，适用于有解的一元二次方程。 考点03 一元二次方程的判别式、根与系数的关系 一、一元二次方程的根的判别式 1.一元二次方程的根的情况由来确定，因此叫作一元二次方程的根的判别式，一般用表示，即=。 2.一元二次方程根的情况与根的判别式的关系： 一般地方程 （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有两个相等的实数根； （3）当时，方程无实数根； 二、根与系数的关系 1.如果方程的两个根为，那么，，这个关系也称为韦达定理。 2.根与系数的关系在运用时必须要注意： （1）方程必须是一元二次方程； （2）方程有实数根，即； 3.如果方程的两个根是，则，。 4.一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）； （2）； （3）； （4）； 考点04 一元二次方程的应用 1.列一元二次方程解应用题的步骤： （1）审清题意和题目中的已知量、未知量，并找出能表示实际问题全部含义的相等关系； （2）设未知数； （3）根据相等关系，列方程； （4）解所列方程，求未知数的值； （5）检验所求方程的解是否正确或者是否符合实际情况； （6）回答。 2.列一元二次方程解应用题的常见类型 （1）数字问题：首先要正确的表示出数字的形式，如：多位数，奇偶数，连续的整数等；其次是巧妙的设出未知数，一般采用间接设元法。 （2）增长率问题：增长率问题分为正增长率与负增长率问题，设年平均增长率为，原来的产量为，则两年后的产量为，负增长率问题则为：。 （3）销售问题：在解答此类问题时，一定要准确地找出反映它们关系的等量关系，每件利润=每件售价-每件进价；总利润=每件利润×总件数等。 ( 6