专题5 与向量有关的恒成立问题-学霸养成2022年高考数学必杀技系列之恒成立与有解问题

专题5 与向量有关的恒成立问题 一、考情分析 与向量有关的恒成立问题,主要有2类,一类是与向量的模有关的不等式恒成立问题,一类是与向量的数量积有关的不等式恒成立问题,这两类问题一般难度较大,常以客观题压轴题形式出现. 二、解题秘籍 (一) 与向量的模有关的不等式恒成立问题 与向量的模有关的不等式恒成立问题,求解思路主要： 1.利用把与向量的模有关的不等式恒成立转化为代数不等式恒成立问题‘ 2.利用把问题转化为不含有向量模的数量积问题； 3.利用进行放缩. 【例1】(2022届山东省枣庄市高三上学期期中) 已知向量与向量不共线,,对任意,恒有,则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设向量的坐标为,代入题中向量等式,解出 x,y之间的关系式,再逐项验证答案. 【解析】设,则 可化简为 根据题意,恒成立 即恒成立 ,解得 ,选项A错误； ,选项B错误； ,选项C正确； ,选项D错误. 故选C. 【例2】（2022届广东省肇庆市高三上学期一模）已知,,若对任意实数,恒成立,则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由条件根据向量模的公式可计算出,然后再将不等式恒成立转化为对任意实数恒成立,根据一元二次不等式恒成立的判定条件列出不等式求解即可. 【解析】因为,所以, 即,所以, 所以 因为对任意实数,恒成立, 所以对任意实数恒成立, 所以只需,因为,所以解得.故选D. 【例3】已知非零向量满足:且不等式恒立,则实数的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由垂直向量的性质,得 ,再利用向量三角不等式,可以求出的最大值. 【解析】 ,整理得 即,故选C. (二) 与向量的数量积有关的不等式恒成立问题 与向量的数量积有关的不等式恒成立问题一般运用向量数量积的坐标运算问题转化为代数不等式求解； 【例4】已知在中,是边上的一个定点,满足,且对于边上任意一点,恒有,则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以所在的直线为轴,的垂直平分线为轴建立直角坐标系,设根据得到,即得到答案. 【解析】如图所示：以所在的直线为轴,的垂直平分线为轴建立直角坐标系. 设,则,,设, 即 恒成立 恒成立,故 即在的垂直平分线上, 故选 三、跟踪检测 1．已知,是非零向量,若对任意的实数,有,则（ ） A． B． C． D． 2．已知平面向量,,满足对任意都有,成立,且,,则的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 3．已知向量、,满足,,若对任意模为2的向量,均有,则向量、夹角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知,,若轴上方的点满足对任意,恒有成立,则点纵坐标的最小值为 A． B． C．1 D．2 5．在所在的平面内,点满足,,且对于任意实数,恒有, 则 A． B． C． D． 6．设,若平面上点满足对任意的,恒有,则一定正确的是 A． B． C． D． 7．（2021届浙江省宁波市高三下学期5月仿真测试）已知平面非零向量满足,则对于任意的使得（ ） A．恒有解 B．恒有解 C．恒无解 D．恒无解 8．已知存在对于任意的实数,不等式则实数T的取值范围为_____________． 8．已知椭圆()的焦点、,抛物线的焦点为,若,若恒成立,则的取值范围为__________； 9．设,为不共线的非零向量,且．定义点集．当,,且不在直线AB上时,若对任意的,不等式恒成立,则实数m的最小值是________． 10．（2022届湖北省部分重点中学高三上学期联考）已知向量,若对任意的单位向量,均有,则的取值范围是______ 11．已知向量的夹角为锐角,且满足､,若对任意的,都有|x+y|≤1成立,则的最小值为___________. 12．已知是平面向量,且是互相垂直的单位向量,若对任意均有的最小值为,则的最小值为___________． 13．已知向量,满足,且对任意,但有,则的最大值是______． 14．已知向量,满足,,若存在不同的实数,,使得且,则的取值范围是________. 15．（2022届上海市普陀区高三上学期11月调研测试）平面直角坐标系中,已是单位向量,向量满足,且对任意实数t成立,则的取值范围是______ . 16．已知平面向量,,满足,,则对任意的,的最小值记为M,则M的最大值为________. 17．在中,,,若对任意的实数,恒成立,则面积的最大值是_______． 18．在中,,点满足,且对任意,恒成立,则______. 19．已知是平面上两个定点,平面上的动点满足,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的最小值为______． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权