专题4 与数列有关的恒成立问题-学霸养成2022年高考数学必杀技系列之恒成立与有解问题

专题4 与数列有关的恒成立问题 一、考情分析 与数列有关的恒成立问题主要有两大类,一是根据数列不等式恒成立,求参数范围,此类问题若出现在客观题中一般为压轴题,若出现在解答题中一般在第（2）问；二是数列不等式的证明,一般出现在解答题第（2）问,难度较大. 二、解题秘籍 (一) 根据与数列通项有关的不等式恒成立,求参数范围 1.求解与数列有关的不等式恒成立问题,可把问题转化为关于n的不等式求解,求解时要注意n是不连续的,防止误用函数性质出错； 2.恒成立数列递增恒成立； 3.求解与数列通项有关的不等式恒成立问题,有时可分离参数转化为最值问题,求数列通项的最值常用方法是根据的符号判断数列单调性,然后再根据数列单调性求最值. 【例1】已知函数,若数列满足且恒成立,则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数列的单调性结合函数的单调性可得出关于实数的不等式组,由此可解得实数的取值范围. 【解析】因为恒成立,数列是单调递增数列,则函数在上为增函数,可得, 函数在上为增函数,可得,可得, 且有,即,即,解得或. 综上所述,.故选C. 【例2】（2022届海南省海南华侨中学高三上学期月考）已知数列满足,若对任意的正整数恒成立,则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意,即可得到是以为首项,以为公比的等比数列,从而求出,依题意可得恒成立,令,利用作差法说明的单调性,即可得到的最大值,即可得解； 【解析】因为,所以,所以是以为首项,以为公比的等比数列,所以,所以,恒成立,的最大值,令,,所以时,单调递增,时,单调递减,,的最大值,；故选A． 【例3】在公差为的等差数列中,,数列满足．若对任意的,恒成立,则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出数列通项公式,然后确定结合函数的单调性与取值范围确定结论． 【解析】由题意得,则,因为函数在上单调递减,在上单调递减,且当时,,当时,其图象如图所示,的图象为其上一系列孤立的点由对,恒成立,即为的最大项,结合图象得,所以．故选． (二) 根据与数列前n项和有关的不等式恒成立问题求参数范围 根据与数列前n项和有关的不等式恒成立问题求参数范围,一般是先求出前n项和的表达式,把问题转化为关于n的不等式恒成立问题,再利用函数、数列或不等式性质求解. 【例4】已知数列的通项公式为,前项和为,若实数满足对任意正整数恒成立,则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据裂项相消法,结合数列的单调性进行求解即可. 【解析】, 前项和为 , 可得为递增数列,且有取得最小值； 且, 当为偶数时,对任意正整数恒成立, 即为对任意正整数恒成立, 由, 可得① 当为奇数时,对任意正整数恒成立, 即为对任意正整数恒成立, 由, 可得,即② 由①②解得．故选A 【例5】（2022届安徽省六安一中、阜阳一中、合肥八中等校高三上学期联考）已知数列的前n项和为,且满足,若对于任意的,,不等式恒成立,则实数a的取值范围为（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时,由作差可得,由可得即可得解. 【解析】∵, ∴当时,有, 两式相减得,即, 又当时,有,解得. ∴,. ∵对于任意的,, 不等式恒成立, ∴. 解得,故选B 【例6】设数列的前项和为,已知,若对恒成立,则实数的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件可得,,由累加法求得,又对恒成立,得,即,即可求解 【解析】由条件得, 于是可得, 又,即, 累加得到, 由对恒成立,得, 即,由得,故选B (三)与数列前n项和有关的不等式的证明. 与数列前n项和有关的不等式的证明,基本题型有两类,一是所给数列可以求和,求和以后再放缩,二是所给数列无法求和,先将数列放缩成可以求和的数列,求和后在证明所给不等式. 【例7】（2022届辽宁省丹东市高三上学期期末）记为数列的前n项和,已知,且数列是等差数列. （1）证明：是等差数列. （2）若,证明：. 【分析】（1）由于是等差数列,,可求出的通项公式,进而求出,再由得到,再利用等差数列的定义可说明是等差数列. （2）根据和（1）的结论可求出的通项公式,再写出,用裂项相消求和即可说明. 【解析】（1）设数列的公差为（为常数）. 是等差数列,当时,,①, 当时,②,由①②得③,经检验,当时也满足③,,当时,,是等差数列. （2）若,则,,.故证出. 【例8】已知公差不为0的等差数列满足：且,,成等比数列. （1）求数列的通项公式和前项和； （2）证明不等式且 【分析】（1）根据,,成等比数列,可得到,从而可求出等差数列的公差,进而求得通项公式和前项和；