专题2 与函数单调性有关的恒成立问题-学霸养成2022年高考数学必杀技系列之恒成立与有解问题

专题2 与函数单调性有关的恒成立问题 一、考情分析 函数单调性是高考必考问题,与函数单调性有关的恒成立问题是考查函数单调性的重要题型, 此类问题主要有两大类,一是形如的恒成立问题,利用的单调性转化为或恒成立问题,二是形如恒成立问题,利用增函数定义转化为是增函数. 二、解题秘籍 (一) 形如的恒成立问题 1.若是定义域为A的增函数,则； 2.若是定义域为A的减函数,则； 3. 若奇函数是定义域为A的增函数,则； 【例1】(2022届山东省济南市高三上学期期末)已知函数若,则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断函数在定义域上的单调性,根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式,解得即可. 【解析】因为,即,当时函数单调递增且,当时函数单调递增且,所以在定义上单调递增,所以等价于,即,解得或,即.故选B 【例2】（2022届湖北省新高考联考协作体高三上学期11月联考）已知函数,则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设,确定的定义域、单调性和奇偶性,利用奇偶性将不等式转化为,再利用的单调性解不等式即可. 【解析】设, 因为对任意的恒成立,故的定义域为R, 又 是定义在R上的奇函数, 又均在R上单调递增, 又对于函数, 当时,明显为单调递增函数, 当时,,由于在上单调递减,故为单调递增函数, 又函数为连续函数,故函数在R上单调递增, 在R上单调递增. 由, 可得, 即, 从而,,解得.故选D. 【例3】已知函数,若关于x的不等式的解集中有且仅有两个整数,则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时, , 则,即关于对称 又当时,在定义域上单调递增,在上单调递增,故在上单调递增, 所以由得, 即, 当时,不等式无解； 当时,即为, 此时不等式的解集有无穷多个整数,舍去； 若,则即为,此时不等式的解集有无穷多个整数,舍去； 当,且时,, 得,, 显然当满足此式,不满足此式, 得满足此式,不满足此式, , 解得,故选A. (二) 形如（或<0）恒成立问题 1.若对任意恒有或,则在A上是增函数； 2.若对任意恒有或,则在A上是减函数； 3. 对任意恒有,则在A上是增函数； 4. 对任意恒有,则在A上是减函数； 5. 若对任意恒有,则在A上是增函数； 6. 若对任意恒有,则在A上是增函数. 【例4】偶函数的定义域为R,且对于任意均有成立,若,则正实数a的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所给性质可得函数在上单调递增,由偶函数的性质原不等式转化为,求解即可. 【解析】因为对于任意均有成立, 所以函数在上单调递减, 又为偶函数, 所以在上单调递增,且, 所以, 即, 解得或,故选A 【例5】已知函数,对任意且,都有,则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】由解析式及题设条件可得在上单调递增,即在上恒成立,进而构造利用导数研究最值,即可求的取值范围. 【解析】∵由解析式知：,即为偶函数, 又对且,都有,知在上单调递减, ∴在上单调递增,又时,, ∴在上恒成立,即在上恒成立, 令,,则, 当时,,单调递增,当时,,单调递减, ∴当时,取得极小值也是最小值, ∴,即. 【例6】若对任意的,,且当时,都有,则的最小值是________. 【答案】2 【分析】将变形为,令,利用在上是递增函数求解. 【解析】由题意得：, 所以, 则等价于, 即, 令,则, 又, 所以在上是递增函数, 所以成立,解得 所以, 故的最小值是2 三、跟踪检测 1．已知函数为自然对数的底数）,若实数满足（1）,则实数的取值范围是（ ） A．,, B．,, C．, D．, 2．（2022届湖南省益阳市高三上学期月考）设定义在R上的奇函数,,都有,记,,,则（ ） A． B． C． D． 3．（2022届黑龙江省大庆市高三上学期质量检测）已知为偶函数,且函数在上单调递减,则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．（2022届福建省龙岩市三校联盟高三上学期期中）已知函数,则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 5．（2022届广东省茂名化州市高三上学期11月调研）已知函数是定义在R上的奇函数,且在上单调递增,若实数a满足,则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（2022届陕西省西安市高三上学期月考）已知函数为偶函数,且当时,,则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．（2022届江苏省扬州市高三上学期期中）设f（x）是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,.若对任意的不等式恒成立,则实数m的取值范围为（ ） A．[0,1]