专题6 与三角函数有关的恒成立与有解问题-学霸养成2022年高考数学必杀技系列之恒成立与有解问题

专题6 与三角函数有关的恒成立与有解问题 一、考情分析 与三角函数有关的恒成立与有解问题,常考的是三角不等式恒成立及三角方程有解问题,难度一般为中等或中等以下,多以客观题形式考查. 二、解题秘籍 (一)与三角函数有关的不等式恒成立问题 1.形如恒成立问题,可设,把问题转化为在上恒成立； 2.与三角函数有关的恒成立问题,若能分离参数,转化为类型,可求的最小值,若一般根据三角函数单调性求最值. 3.若对任意实数x,恒有,则为最大值,若存在,对任意实数x,恒有,则的最小值与最大值分别为. 【例1】（2022届上海市松江区高三一模）已知函数,若对任意的实数都成立,则的最小值为___________. 【答案】 【分析】化简,由可得,得到即可求解. 【解析】,且, , , ,, 【例2】若不等式对任意的恒成立,则实数a的取值范围为_________． 【答案】 【分析】设,,得到不等式等价于在恒成立,变量分离得到,函数在上是单调递减的,故即可得到答案. 【解析】设,∵,∴, 则不等式即为在恒成立, 即在恒成立,函数在上是单调递减的, 故.∴． 【例3】已知实数,不等式对任意恒成立,则的最大值是（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用换元法可将原不等式转化为对任意的恒成立,令,讨论其单调性后可得,消元后可得所求的最大值. 【解析】令,原不等式整理得： , 即, ∴,即, 两边除以得：, 所以 , 因为,故,故为增函数. 又,因此在上递减,上递增, 又,,且, 故. 则.故选B. 【例4】若存在使得函数和满足,则称函数为的型“同形”函数. （1）探究：若,,是否存在,使得函数为的型“同形”函数.若存在,求出a,b的值并证明；若不存在,说明理由； （2）在（1）的条件下,函数,若对任意的,不等式恒成立,求实数m的取值范围. 【分析】（1）根据“同形”函数的定义即可得出； （2）令,则不等式可化为在上恒成立,讨论范围根据二次函数的性质即可求出. 【解析】（1）存在,当时,函数为的型“同形”函数,证明如下： 因为, 所以当时,函数为的型“同形”函数. （2） , 不等式在上恒成立, 即在上恒成立, 即在上恒成立, 令, 所以在上恒成立, 令, 当时,在上单调递增,所以,解得； 当时,在上单调递减,所以,解得（舍）； 当时,在上单调递减,在上单调递增, 所以,解得（舍）, 综上,实数的取值范围为. (二) 与三角函数有关的方程或不等式有解问题 1.根据与三角函数有关的方程有解求参数范围,一般通过分离参数,把问题转化为三角函数求值域. 2.若给出与三角函数有关的方程解的个数,求参数范围,一般借助于三角函数图象与性质求解 【例5】已知函数,若集合含有个元素,且关于的方程在上有解,则实数的取值范围是____ 【答案】 【分析】由且可求得,再由已知条件可得出关于的不等式,可求得的取值范围,再由二次函数的基本性质结合的的取值范围,综合即可得解. 【解析】由可得, 因为,当时,, 因为集合含有个元素,则,解得. 当时,, 则. 综上所述,. 【例6】函数（）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数是偶函数,当时,方程有两个不同的实根,则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数（）的图象向左平移个单位后得,再由对应的函数是偶函数,求出,方程有两个不同的实根等价于有两个不同的实根,结合图象可求. 【解析】的图象向左平移个单位后得到, 由于为偶函数,所以, 由于,所以,所以． 当时,,所以, 令,作出其图象如图, 方程有两个不同的实根时,等价于有两个不同的实根,通过图象可知, 故选D． 7.（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知函数的图象的相邻两个对称轴之间的距离为,且恒有,若存在成立,则b的取值范围为________． 【答案】 【分析】用三角恒等变换可得,结合其性质求得,,即可得,根据正弦函数的性质确定的最值,最后由不等式恒成立求参数范围即可. 【解析】由题设,, 由相邻两个对称轴之间的距离为,故, 又关于对称,即,故,解得, ∴, 当时,,此时的最大值为,最小值为, 若存在,使成立,则只需, ∴． 【例8】已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）若,方程有解,求实数的取值范围. 【分析】(1)由奇函数定义推导计算即可得解； (2)根据给定条件化简整理函数,令,构造新函数并求出其值域即可得解. 【解析】(1)因函数为奇函数,于是有, 即,则,,而,解得, 所以实数的值是1； (2)由(1)知,显然有,即, 函数中,,则, 于是得,, 令,,显然,函数在上单调递增,, 而在上单调递增,于是得,则有的值域为, 从而有的值域是,又方程有解,则, 所以实数的取值范围是. 三、跟踪检