6.1-6.2.3 平面向量的概念与运算 -【高分突破系列】2021-2022学年高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第二册)

平面向量的概念与运算 知识点一 平面向量的概念 1 向量的概念 既有大小又有方向的量，常用，等表示；向量的长度是向量的模，记作. PS 平面向量在平面内是可以任意移动的. 2 常见向量的概念 名称 定义 特点 零向量 长度为的向量 零向量的方向是任意的 单位向量 长度为一个单位长度的向量 与共线的单位向量是 相等向量 长度相等且方向相同的两个向量 相等向量有传递性 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，， 记作 零向量和任何向量平行 相反向量 长度相等方向相反的向量 的相反向量记作 PS (1) 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； (2) 平行向量无传递性！(因为有； (3) 因为平面向量在平面内是可以任意移动的，与线段不一样，所以向量没有固定的起点和终点，两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念. 图一线段和在①中是，在②中是、共线； (图一) 图二向量和对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②的情况是一样. (图二) 知识点二 平面向量的运算 1 向量的加法 ① 向量加法的三角形法则 已知向量非零向量在平面内取任意一点作，则向量叫做与的和，记作，即.(相当于”首尾相接”) ② 向量加法的平行四边形法则 若， 则向量 叫做 与 的和，即； 作图 (是平行四边形) 2向量的减法 ① 向量减法的几何意义 已知向量在平面内任取一点，作，则， 即可以表示向量的终点指向向量的终点的向量. ② 一般地 , 我们有 当且仅当方向相同时等号成立. ③ 向量的加减法满足交换律和结合律 ④ 若 (1) 如图一，若三点共线，则； (2) 如图二，若点和点在同侧，则； (3) 如图三，若点和点在异侧，则； 图一 图二 图三 特殊的，在三角形中，点是的中点，则. 3 向量数乘运算 一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作； 它的长度与方向规定如下： (1)； (2) 当时的方向与的方向相同；当时，的方向与方向相反； 4 两个向量共线 共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得 当时的方向与的方向相同； 当时，的方向与方向相反； 当 时，. 【题型一】向量的相关概念 【典题1】给出下列命题 ① 向量  与是共线向量，则四点必在一直线上； ② 若满足且与同向，则； ③ 若 则； ④ 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤ 若, 则； ⑥ 若∥∥，则∥. 其中正确命题数是哪些？ 【解析】 对于①，对于向量来说，共线向量即是平行向量，所以向量 与是共线向量， 四点不一定在一直线上，①错误； 对于②，向量是有方向的量，不能比较大小，其模才能比较大小，故②错误； 对于③，若 则成立，故③对； 对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误； 对于⑤ 要还需要向量方向相同； 对于⑥ 当为零向量时不成立，零向量与任何向量都平行. 【点拨】 ① 向量是可以平移的矢量，没有固定的起点，共线向量即是平行向量 , 与线段、直线不一样； ② 零向量与任何向量都平行，在判断向量关系时要注意零向量的特殊情况. 【题型二】共线定理 【典题1】点在直线上，且，若，则 . 【解析】(点在直线上，注意分类讨论) (1)当点在线段上，如图所示； ，所以； 若，则； (2)当点在线段延长线上，如图所示； ，所以； 若，则； 【点拨】体会下线段比与向量比之间的相互转化，若，则或. 【题型三】向量的加减法 【典题1】 若，则与的夹角为________. 【解析】 构造平行四边形分别对角线，因为， 所以平行四边形的对角线相等，即是矩形，故与的的夹角为. 【典题2】在中，，分别为边，的中点，与交于点P，设， ，则 (　　) A． B． C． D． 【解析】 方法 首尾相接法 ，其中 (利用平几知识点求出) 如图过点作 是中点， 即 . 方法 构造平行四边形法 过点分别作则四边形是平行四边形， 则， 其中， (问题化为线段比值问题) 由方法可得 ，同理可得 . 方法3 中，分别为边的中点， ． 三点共线，设， 三点共线，设， ，解得， ．故选：． 【点拨】 ① 本题是用向量表示； ② 方法是利用三角形法则，“首尾相接法” , 思路是：先找到一个含的封闭图形，比如则有，接着尽量向向量凑拢，得到后就只需要求出就行； ③ 方法是构造平行四边形法：构造邻边在所在的直线上，为对角线的平行四边形，再利用平行线成比例的性质与其他的几何知识求解便可； ④ 方法是使用向