6.2.3 向量的数乘运算（4知识点+4题型）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的数乘运算 【学习目标】 · 理解向量数乘的定义，掌握数乘向量的模与方向判定规则，能结合几何意义作出数乘向量； · 熟练掌握向量数乘的运算律，能准确进行加、减、数乘的混合线性运算化简； · 深度理解共线向量定理的内涵与使用条件，能利用定理判定/证明向量共线、三点共线； · 能结合共线向量定理求解含参数的向量问题，体会向量代数与几何的结合思想。 【重难点】 · 重点：向量数乘的定义与运算律；共线向量定理的理解与基础应用；向量线性运算化简； · 难点：共线向量定理的灵活应用（三点共线证明、含多参数的共线问题求解）；数乘几何意义与线性运算的综合应用。 知识点1 向量的数乘定义 实数与向量的积是一个向量，记作,其模和方向按以下规则确定： 1. 计算：（数乘的模为实数绝对值与原向量模的乘积）； 2. 方向判定： · 当时，与方向相同； · 当时，与方向相反； · 当时，，方向任意； 3. 核心本质：数乘向量的结果仍是向量，而非数量，是对原向量的“大小缩放+方向调整”。 【核心辨析】 1. 数乘向量与实数乘法的区别：实数乘法结果为实数，数乘向量结果为向量（有大小+方向）； 的充要条件：或（二者满足其一即可）。 知识点2 向量数乘的运算律 设为任意实数，为任意向量，数乘运算满足以下规律（与实数乘法运算律一致，可直接类比使用）： 1. 结合律：（先数乘再数乘，可合并系数）； 2. 第一分配律：（实数和乘向量，等于分别数乘再相加）； 3. 第二分配律：（数乘向量和，等于分别数乘再相加）； 4. 常用推论： ； ； 0 知识点3 向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的结果仍为向量。 线性运算的化简规则：类比实数四则运算，先去括号，再合并“同类向量”（同类向量指方向相同/相反的向量，合并时系数相加减，向量保持不变）。 知识点4 共线向量定理（重要考点） 向量共线的充要条件：对于两个向量（）和，与共线当且仅当存在唯一实数，使得。 1. 关键条件：（若，则对非零向量，不存在实数使，唯一性不成立）； 2. 定理延伸（三点共线）： （1）若平面内有三点，则三点共线当且仅当存在唯一实数，使得（或、）； （2）若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1. 3. 核心作用：判定向量共线、证明三点共线、求解向量中的参数问题。 【核心辨析】 （1）向量共线三点共线：若与共线，仅说明向量方向相同/相反，不代表四点共线； （2）三点共线向量共线：若共线，则与、均共线。 题型1 向量的线性运算（加、减、数乘混合化简） 【题型特征】含括号、系数的向量混合线性运算，如化简，部分题目结合几何图形进行向量线性表示，进阶运算题型，侧重代数化简的准确性。 【解题思路】三步化简法：① 去括号：利用数乘分配律展开括号，注意系数与符号的乘法（负系数要遍乘括号内所有向量）；② 移项：将同类向量（相同向量）移到一起；③ 合并：同类向量的系数相加减，向量保持不变，最终化为最简形式（如）。 例1 化简下列向量线性运算： （1）； （2）； （3）。 【答案】（1）；（2）；（3）【解析】严格按“去括号→移项→合并”步骤化简，注意符号与系数的运算： （1）原式（去括号，遍乘和） （移项，合并同类向量） ； （2）原式（去括号，乘、，乘、） （移项，合并同类向量） ； （3）原式（去括号） （展开） （移项） （合并）。 变式1-1 如图，在平行四边形中，，，为中点，为上一点，且，用、表示、、。 【答案】，， 【解析】先利用几何图形的边的关系表示为基础向量的数乘，再结合加法法则化简： 1. 求：，由为中点，，故； 2. 求：，由，得，故； 3. 求：（减法法则，起点重合），代入得。 题型2 用已知向量表示其他向量 【题型特征】以平面几何图形（三角形、平行四边形、梯形等）为载体，给定一组基底向量（如、或、），要求将图形中其他未知向量用基底向量线性表示；部分题目会结合线段中点、等分点（如三等分点、四等分点）、平行关系等条件，侧重几何图形与向量线性运算的结合，是向量数乘运算的几何应用基础题型。 【解题思路】分四步解题： 1. 基底：明确题目给定的基底向量，所有待表示向量均需最终转化为该组基底的线性组合（系数为实数）； 2. 拆分向量：将待表示向量拆分为图形中有向线段的和/差，优先选择与基底向量共线或能通过基底向量表示的线段，利用向量加法的三角形法则/平行四边形法则、减法的三角形法则拆分（核心：起点重合找差，首尾相接找和）； 3. 转化共线向量：结合几何条件（中点、等分点、平行），将拆分后的非基底向量用基底向量的数乘形式表示（如中点则线段向量为对应基底的倍，平行则线段向量为对应基底的倍）； 4. 化简整理：利用向量数乘的运算律展开、合并同类向量，最终化为（、为实数）的最简线性形式。 常用技巧： · 遇中点/等分点：直接利用数乘定义表示线段向量（如为中点，则）； · 遇平行四边形/梯形：利用对边平行且相等转化向量（如平行四边形中，，）； · 复杂图形：通过“找中间向量”分步转化，避免一步拆分出错（如先表示，再通过表示）。 例2　如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　　) A.a－b B.a＋b C.a＋b D.a－b 【答案】　D 【解析】　因为E是BC的中点， 所以＝＝－＝－b， 所以＝＋＝＋＝a－b. 变式2-1 在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ 【答案】　D 【解析】　示意图如图所示， 由题意可得＝＋ ＝＋ ＝＋(－)＝＋. 题型3 利用共线向量定理判定/证明向量共线、三点共线 【题型特征】分两类考向：① 判定两个已知向量是否共线；② 证明平面内三点共线（核心考向），进阶中档题型，侧重定理的条件应用和逻辑推理。 【解题思路】 1. 判定向量共线：若，尝试将表示为的形式，若能找到唯一实数，则；若不能，则不共线； 2. 证明三点共线（）：① 选取两个有公共起点的向量（如和，公共起点为）；② 利用线性运算将其中一个向量表示为另一个向量的数乘形式；③ 验证非零向量和唯一性，满足则三点共线。 例3　设a，b是不共线的两个向量. (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值. (1)证明　∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， 而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2， ∴与共线，且有公共点B， ∴A，B，C三点共线. (2)解　∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， ∵a与b不共线，∴ 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. 变式3-1 已知平面内有四点，且，，（、不共线），证明：三点共线。 【解析】证明三点共线，先求和，再证其共线： 第一步：求和： ， ； 第二步：验证共线：观察得，即存在唯一实数，使得，且（、不共线），满足共线向量定理； 第三步；结论：与有公共起点且共线，故三点共线。 题型4 利用共线向量定理求解向量中的参数问题 【题型特征】已知两个向量共线（或三点共线），求向量表达式中的实数参数（单参数/多参数），本小节高频压轴题型，难度进阶，侧重定理应用与方程思想的结合。 【解题思路】 1. 单参数问题：根据共线向量定理，设（），展开后根据“同类向量系数相等”列方程，求解参数； 2. 多参数/三点共线参数问题：先将三点共线转化为向量共线，再按单参数方法列方程，结合方程组求解参数； 3. 核心关键：验证非零向量，确保参数的唯一性。 例4 已知向量、不共线，若向量与共线，求实数的值。 【解析】由向量共线列数乘等式，结合同类向量系数相等列方程求解： 由与共线，且、不共线，得，，故存在唯一实数，使得； 代入向量表达式：； 同类向量系数相等，列方程组：，将代入第二个方程，得，即，无实数解； 结论：不存在实数，使与共线。 变式4-1 已知为平面内任意一点，，，，若三点共线，求实数的值（若），并求此时与的数乘关系。 【解析】先将三点共线转化为向量共线，列方程求参数，再分析向量关系： 求和： ， ； 由三点共线，得与共线，故存在实数，使得，即； 同类向量系数相等，列方程组：，解得； 求与的关系： ，由，，即，化简得，代入得：。 【答案】， 变式4-2 已知向量、不共线，若向量与共线，求的值（）。 【解析】由共线定理列等式，结合系数相等求解比值： 由ab与ab共线，且a、不共线，得存在唯一实数，使得； 展开得：，同类向量系数相等列方程：； 消去，得，故（）。 A组 基础巩固练 1. 下列说法中正确的是(　　) A.λa与a的方向不是相同就是相反 B.若a，b共线，则b＝λa C.若|b|＝2|a|，则b＝±2a D.若b＝±2a，则|b|＝2|a| 2. 化简向量的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 已知、不共线，向量，，则与的关系为（ ） A. 不共线 B. 共线且同向 C. 共线且反向 D. 无法确定 4．已知a，b是不共线的向量，且 ，， ，则( )． (A) A，B，D三点共线 (B) A，B，C三点共线 (C) B，C，D三点共线 (D) A，C，D三点共线 5．已知O为△ABC的重心，D为AB的中点，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m+n的值为（　　） A． B． C．1 D． 7．已知，，，则（　　）三点共线． A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 8. 在△ABC中，若点D满足，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D．3 9. 已知点O是平行四边形ABCD的对角线交点，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，则（　　） A． B． C． D． 10．已知若 ， 是不共线的向量，且， ，若a与b是共线向量，求实数k的值． 11. 已知是空间中不共面的向量，若． （1）若B，C，D三点共线，求m，n的值； （2）若A，B，C，D四点共面，求3m+5n的值． B组 能力提升练 12．已知向量，不共线．若，则（　　） A．k＝﹣2 B．k＝﹣1 C．k＝1 D．k＝2 13．设均为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14. 给出下列命题： ①若，则； ②若A，B，C三点共线且，则m+n＝1； ③若和同向，则； ④和不共线且，若A，B，P三点共线，则x＝y+z．其中正确命题的序号是（　　） A．②③ B．①② C．③④ D．①④ 15. 已知向量，不共线，，，其中λ，μ∈R，那么A，B，C三点共线的充要条件为（　　） A．2λ+μ＝1 B．2λ+μ＝﹣1 C．2λμ＝1 D．2λμ＝﹣1 16. 如图，在△ABC中，，E为AD的中点，过点E作直线分别与边AB，AC交于P、Q两点，且，，则x+y的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 17. 在△ABC中，已知，P在线段AD（不包含端点）上，若，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D．3 18．已知，不共线，，，当与共线时实数λ的值为　　 ． 19．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且．设，． （1）用基底分别表示向量； （2）若，用平面向量证明A，B，G三点共线． C组 拓展压轴练 20. △ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且，则x2+y2的最小值是（　　） A． B． C．1 D．2 21. 如图，已知平行四边形ABCD，，M和N分别是PB和PC的中点，Q为AN和DM的交点，O为AC和BD的交点，求证：P，Q，O三点共线． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的数乘运算 【学习目标】 · 理解向量数乘的定义，掌握数乘向量的模与方向判定规则，能结合几何意义作出数乘向量； · 熟练掌握向量数乘的运算律，能准确进行加、减、数乘的混合线性运算化简； · 深度理解共线向量定理的内涵与使用条件，能利用定理判定/证明向量共线、三点共线； · 能结合共线向量定理求解含参数的向量问题，体会向量代数与几何的结合思想。 【重难点】 · 重点：向量数乘的定义与运算律；共线向量定理的理解与基础应用；向量线性运算化简； · 难点：共线向量定理的灵活应用（三点共线证明、含多参数的共线问题求解）；数乘几何意义与线性运算的综合应用。 知识点1 向量的数乘定义 实数与向量的积是一个向量，记作,其模和方向按以下规则确定： 1. 计算：（数乘的模为实数绝对值与原向量模的乘积）； 2. 方向判定： · 当时，与方向相同； · 当时，与方向相反； · 当时，，方向任意； 3. 核心本质：数乘向量的结果仍是向量，而非数量，是对原向量的“大小缩放+方向调整”。 【核心辨析】 1. 数乘向量与实数乘法的区别：实数乘法结果为实数，数乘向量结果为向量（有大小+方向）； 的充要条件：或（二者满足其一即可）。 知识点2 向量数乘的运算律 设为任意实数，为任意向量，数乘运算满足以下规律（与实数乘法运算律一致，可直接类比使用）： 1. 结合律：（先数乘再数乘，可合并系数）； 2. 第一分配律：（实数和乘向量，等于分别数乘再相加）； 3. 第二分配律：（数乘向量和，等于分别数乘再相加）； 4. 常用推论： ； ； 0 知识点3 向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的结果仍为向量。 线性运算的化简规则：类比实数四则运算，先去括号，再合并“同类向量”（同类向量指方向相同/相反的向量，合并时系数相加减，向量保持不变）。 知识点4 共线向量定理（重要考点） 向量共线的充要条件：对于两个向量（）和，与共线当且仅当存在唯一实数，使得。 1. 关键条件：（若，则对非零向量，不存在实数使，唯一性不成立）； 2. 定理延伸（三点共线）： （1）若平面内有三点，则三点共线当且仅当存在唯一实数，使得（或、）； （2）若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1. 3. 核心作用：判定向量共线、证明三点共线、求解向量中的参数问题。 【核心辨析】 （1）向量共线三点共线：若与共线，仅说明向量方向相同/相反，不代表四点共线； （2）三点共线向量共线：若共线，则与、均共线。 题型1 向量的线性运算（加、减、数乘混合化简） 【题型特征】含括号、系数的向量混合线性运算，如化简，部分题目结合几何图形进行向量线性表示，进阶运算题型，侧重代数化简的准确性。 【解题思路】三步化简法：① 去括号：利用数乘分配律展开括号，注意系数与符号的乘法（负系数要遍乘括号内所有向量）；② 移项：将同类向量（相同向量）移到一起；③ 合并：同类向量的系数相加减，向量保持不变，最终化为最简形式（如）。 例1 化简下列向量线性运算： （1）； （2）； （3）。 【答案】（1）；（2）；（3）【解析】严格按“去括号→移项→合并”步骤化简，注意符号与系数的运算： （1）原式（去括号，遍乘和） （移项，合并同类向量） ； （2）原式（去括号，乘、，乘、） （移项，合并同类向量） ； （3）原式（去括号） （展开） （移项） （合并）。 变式1-1 如图，在平行四边形中，，，为中点，为上一点，且，用、表示、、。 【答案】，， 【解析】先利用几何图形的边的关系表示为基础向量的数乘，再结合加法法则化简： 1. 求：，由为中点，，故； 2. 求：，由，得，故； 3. 求：（减法法则，起点重合），代入得。 题型2 用已知向量表示其他向量 【题型特征】以平面几何图形（三角形、平行四边形、梯形等）为载体，给定一组基底向量（如、或、），要求将图形中其他未知向量用基底向量线性表示；部分题目会结合线段中点、等分点（如三等分点、四等分点）、平行关系等条件，侧重几何图形与向量线性运算的结合，是向量数乘运算的几何应用基础题型。 【解题思路】分四步解题： 1. 基底：明确题目给定的基底向量，所有待表示向量均需最终转化为该组基底的线性组合（系数为实数）； 2. 拆分向量：将待表示向量拆分为图形中有向线段的和/差，优先选择与基底向量共线或能通过基底向量表示的线段，利用向量加法的三角形法则/平行四边形法则、减法的三角形法则拆分（核心：起点重合找差，首尾相接找和）； 3. 转化共线向量：结合几何条件（中点、等分点、平行），将拆分后的非基底向量用基底向量的数乘形式表示（如中点则线段向量为对应基底的倍，平行则线段向量为对应基底的倍）； 4. 化简整理：利用向量数乘的运算律展开、合并同类向量，最终化为（、为实数）的最简线性形式。 常用技巧： · 遇中点/等分点：直接利用数乘定义表示线段向量（如为中点，则）； · 遇平行四边形/梯形：利用对边平行且相等转化向量（如平行四边形中，，）； · 复杂图形：通过“找中间向量”分步转化，避免一步拆分出错（如先表示，再通过表示）。 例2　如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　　) A.a－b B.a＋b C.a＋b D.a－b 【答案】　D 【解析】　因为E是BC的中点， 所以＝＝－＝－b， 所以＝＋＝＋＝a－b. 变式2-1 在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ 【答案】　D 【解析】　示意图如图所示， 由题意可得＝＋ ＝＋ ＝＋(－)＝＋. 题型3 利用共线向量定理判定/证明向量共线、三点共线 【题型特征】分两类考向：① 判定两个已知向量是否共线；② 证明平面内三点共线（核心考向），进阶中档题型，侧重定理的条件应用和逻辑推理。 【解题思路】 1. 判定向量共线：若，尝试将表示为的形式，若能找到唯一实数，则；若不能，则不共线； 2. 证明三点共线（）：① 选取两个有公共起点的向量（如和，公共起点为）；② 利用线性运算将其中一个向量表示为另一个向量的数乘形式；③ 验证非零向量和唯一性，满足则三点共线。 例3　设a，b是不共线的两个向量. (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值. (1)证明　∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， 而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2， ∴与共线，且有公共点B， ∴A，B，C三点共线. (2)解　∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， ∵a与b不共线，∴ 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. 变式3-1 已知平面内有四点，且，，（、不共线），证明：三点共线。 【解析】证明三点共线，先求和，再证其共线： 第一步：求和： ， ； 第二步：验证共线：观察得，即存在唯一实数，使得，且（、不共线），满足共线向量定理； 第三步；结论：与有公共起点且共线，故三点共线。 题型4 利用共线向量定理求解向量中的参数问题 【题型特征】已知两个向量共线（或三点共线），求向量表达式中的实数参数（单参数/多参数），本小节高频压轴题型，难度进阶，侧重定理应用与方程思想的结合。 【解题思路】 1. 单参数问题：根据共线向量定理，设（），展开后根据“同类向量系数相等”列方程，求解参数； 2. 多参数/三点共线参数问题：先将三点共线转化为向量共线，再按单参数方法列方程，结合方程组求解参数； 3. 核心关键：验证非零向量，确保参数的唯一性。 例4 已知向量、不共线，若向量与共线，求实数的值。 【解析】由向量共线列数乘等式，结合同类向量系数相等列方程求解： 由与共线，且、不共线，得，，故存在唯一实数，使得； 代入向量表达式：； 同类向量系数相等，列方程组：，将代入第二个方程，得，即，无实数解； 结论：不存在实数，使与共线。 变式4-1 已知为平面内任意一点，，，，若三点共线，求实数的值（若），并求此时与的数乘关系。 【解析】先将三点共线转化为向量共线，列方程求参数，再分析向量关系： 求和： ， ； 由三点共线，得与共线，故存在实数，使得，即； 同类向量系数相等，列方程组：，解得； 求与的关系： ，由，，即，化简得，代入得：。 【答案】， 变式4-2 已知向量、不共线，若向量与共线，求的值（）。 【解析】由共线定理列等式，结合系数相等求解比值： 由ab与ab共线，且a、不共线，得存在唯一实数，使得； 展开得：，同类向量系数相等列方程：； 消去，得，故（）。 A组 基础巩固练 1. 下列说法中正确的是(　　) A.λa与a的方向不是相同就是相反 B.若a，b共线，则b＝λa C.若|b|＝2|a|，则b＝±2a D.若b＝±2a，则|b|＝2|a| 【答案】　D 【解析】　显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|. 2. 化简向量的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】原式。 3. 已知、不共线，向量，，则与的关系为（ ） A. 不共线 B. 共线且同向 C. 共线且反向 D. 无法确定 【答案】C 【解析】a，，故a与共线且反向。 4．已知a，b是不共线的向量，且 ，， ，则( )． (A) A，B，D三点共线 (B) A，B，C三点共线 (C) B，C，D三点共线 (D) A，C，D三点共线 【解析】 5．已知O为△ABC的重心，D为AB的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，O为△ABC的重心，D为AB的中点，则： ． 故选：B． 6．如图，在△ABC中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m+n的值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】设且0＜λ＜1，则， 又，所以，则， 由B，P，E共线，则，可得， 所以． 故选：B． 7．已知，，，则（　　）三点共线． A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【解析】由题意，，，， 对于A，因为， 所以，所以A、B、D三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在λ∈R，使得， 所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在λ∈R，使得， 所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在λ∈R，使得， 所以A、C、D三点不共线，故D错误． 故选：A． 8. 在△ABC中，若点D满足，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】画出图形，如图所示， 所以， 又因为， 所以， 所以． 故选：B． 9. 已知点O是平行四边形ABCD的对角线交点，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由点O是平行四边形ABCD的对角线交点， 可得：O既是AC的中点，又是BD的中点， 故（）+（）＝224． 故选：D． 10．已知若 ， 是不共线的向量，且， ，若a与b是共线向量，求实数k的值． 【解析】∵ ， 不共线， ， ∵ ，共线， 即 ∵ ， 不共线， 11. 已知是空间中不共面的向量，若． （1）若B，C，D三点共线，求m，n的值； （2）若A，B，C，D四点共面，求3m+5n的值． 【解析】（1）因为B，C，D三点共线， 则， 又，﹣ 故， ， 有，解得； （2）因为A，B，C，D四点共面，则， 则， 有， 得3m+5n＝3（﹣x+2y）+5（x﹣y）＝2x+y＝﹣1． B组 能力提升练 12．已知向量，不共线．若，则（　　） A．k＝﹣2 B．k＝﹣1 C．k＝1 D．k＝2 【答案】A 【解析】由题可得：存在实数m，使得， 故4＝﹣2m且k＝m，解得k＝﹣2． 故选：A． 13．设均为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若与共线，且，则存在实数m使得：． 代入得， 故与共线，必要性成立； 若与共线，且，则存在实数k使得：． 移项可得：，即， 故与共线，充分性成立； 综上，“与共线”是“与共线”的充分必要条件． 故选：C． 14. 给出下列命题： ①若，则； ②若A，B，C三点共线且，则m+n＝1； ③若和同向，则； ④和不共线且，若A，B，P三点共线，则x＝y+z．其中正确命题的序号是（　　） A．②③ B．①② C．③④ D．①④ 【答案】C 【解析】对于①，若，为非零向量，则不存在λ，①错误； 对于②，若点O在直线AC上，则m+n不一定等于1，②错误； 对于③，若和同向，则λ，λ＞0，即λ，③正确； 对于④，和不共线，且xyz， 若A，B，P三点共线，则当x＝0时，y＝0，z＝0，满足x＝y+z； 当x≠0时，由xyz，可得， 则，即x＝y+z，④正确． 故选：C． 15. 已知向量，不共线，，，其中λ，μ∈R，那么A，B，C三点共线的充要条件为（　　） A．2λ+μ＝1 B．2λ+μ＝﹣1 C．2λμ＝1 D．2λμ＝﹣1 【答案】C 【解析】由题可得：， ∴，∴， ∴，∴2λμ＝1，故选项C正确． 故选：C． 16. 如图，在△ABC中，，E为AD的中点，过点E作直线分别与边AB，AC交于P、Q两点，且，，则x+y的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】因为，所以， 则， 又因为E为AD的中点，所以， 由，，得，， 所以，由P，E，Q三点共线，可知． 所以， 当且仅当，即时取等号， 则x+y的最小值为． 故选：A． 17. 在△ABC中，已知，P在线段AD（不包含端点）上，若，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【解析】由题意，，P在线段AD（不包含端点）上， 设， 则， 又由于， 可得λ＝1﹣m，， 可得 ，当且仅当，即时等号成立， 可得的最小值为． 故选：A． 18．已知，不共线，，，当与共线时实数λ的值为　　 ． 【答案】． 【解析】由题可得，存在实数k，使得， 即，即，解得． 故答案为：． 19．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且．设，． （1）用基底分别表示向量； （2）若，用平面向量证明A，B，G三点共线． 【解析】（1）由平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且， 可得：， ， 故， 同理：； （2）由，可得， 则，所以，即A，B，G三点共线． C组 拓展压轴练 20. △ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且，则x2+y2的最小值是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】根据题意可知，D是AC的中点，则， ∴， ∵B，H，D三点共线，∴x+2y＝1（x＞0，y＞0）， ∴，故x2+y2的最小值为． 故选：A． 21. 如图，已知平行四边形ABCD，，M和N分别是PB和PC的中点，Q为AN和DM的交点，O为AC和BD的交点，求证：P，Q，O三点共线． 【解析】证明：由题意，在平行四边形ABCD，，M和N分别是PB和PC的中点，Q为AN和DM的交点，O为AC和BD的交点， 可得， 同理，， 由于A，Q，N三点共线， 可得， 又由于D，Q，M三点共线， 可得， 可得， 可得， 可得， 可得， 可得P，Q，O三点共线，得证． 学科网（北京）股份有限公司 $