第02讲 二次函数背景下的相似三角形的存在性（2022青浦、嘉定、崇明、宝山、静安一模24题解法分析+经典变式练）-冲刺2022年中考数学压轴题全揭秘（上海专用）

第2讲 二次函数背景下的相似三角形的存在性 —（2022青浦、嘉定、崇明、宝山、静安一模24题解法分析+经典变式练） 二次函数背景下的相似三角形考点分析： 1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点； 2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式； 3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式； 4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解； 5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题； 6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。 【备注】： 1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考； 2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思； 3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来； 4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示； 5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等； 6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评； 7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。 例1.（2022青浦一模24）．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2）联结BC、BD，求∠CBD的正切值； （3）若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c， 得， 解得：， 所以抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3． 当x＝0时，y＝﹣3． ∴点C的坐标为（0，﹣3）． （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴点D的坐标为（1，﹣4）． ∵B（3，0）、C（0，﹣3）、D（1，﹣4）， ∴BC＝，DC＝，BD＝． ∴BC2+DC2＝18+2＝20＝DB2． ∴∠BCD＝90°． ∴tan∠CBD＝． （3）∵tan∠ACO＝， ∴∠ACO＝∠CBD． ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°． ∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC． 即：∠ACB＝∠DBO． ∴当△BDP与△ABC相似时，点P在点B左侧． （i）当时， ∴． ∴BP＝6． ∴P（﹣3，0）． （ii）当时， ∴． ∴BP＝． ∴P（﹣，0）． 综上，点P的坐标为（﹣3，0）或（﹣，0）． 例2.（2022嘉定一模24）（12分）（2021秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A、B两点在直线y＝x上，如图．二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象也经过点A、B两点，并与y轴相交于点C，如果BC∥x轴，点A的横坐标是2． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设这个二次函数图象的对称轴与BC交于点D，点E在x轴的负半轴上，如果以点E、O、B所组成的三角形与△OBD相似，且相似比不为1，求点E的坐标； （3）设这个二次函数图象的顶点是M，求tan∠AMC的值． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图像与y轴相交于点C， ∴点C的坐标为（0，﹣2）， ∵BC//x轴， ∴点B的纵坐标是﹣2， ∵点A、B两点在直线y＝x上，点A的横坐标是2， ∴点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（﹣4，﹣2）， ∵这个二次函数的图像也经过点A（2，1）、B（﹣4，﹣2）， ∴， 解这个方程组，得 a＝，b＝1， ∴二次函数的解析式是y＝+x﹣2； （2）根据（1）得，二次函数y＝+x﹣2图像的对称轴是直线x＝﹣2， ∴点D的坐标为（﹣2，﹣2）， ∴OB＝2，BD＝2， ∵BC//x轴， ∴∠OBD＝∠BOE， ∴以点E、O、B组成的三角形与△OBD相似有可能以下两种： ①当时，△BOD∽△OBE，显然这两相似三角形的相似比为1，与已知相似比不为1矛盾，这种情况应舍去， ②当时，△BOD∽△OEB， ∴， ∴OE＝10， 又点E在x轴的负半轴上， ∴点E的坐标为 （﹣10，0）； （3）过点C作CH⊥AM，垂足为H， 根据（1）得，二次函数的解析式是y＝+x﹣2的顶点坐标为M（﹣2，﹣3）， 设直线AM的解析式为y＝kx+m， ， 解得k＝1，m＝﹣1， ∴直线AM的解析式为y＝x﹣1， 设