第01讲 二次函数中的平移问题（ 2022普陀、金山、闵行、奉贤24题解法分析+经典变式练）-冲刺2022年中考数学压轴题全揭秘（上海专用）

第1讲 二次函数中的平移问题 —（ 2022普陀、金山、闵行、奉贤、24题解法分析+经典变式练） 一．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 二．坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 三、二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移： 针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a不变。 【备注】： 1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考； 2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思； 3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来； 4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示； 5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等； 6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评； 7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题5-7分钟。 例1．（2022普陀区一模24）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+1交于点A（m，0），B（﹣3，n），与y轴交于点C，联结AC． （1）求m、n的值和抛物线的表达式； （2）点D在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当∠ACD＝90°时，求点D的坐标； （3）将△AOC平移，平移后点A仍在抛物线上，记作点P，此时点C恰好落在直线AB上，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求出A，B两点坐标即可解决问题． （2）过点D作DH⊥y轴于点H，由直角三角形的性质得出tan∠ACO＝tan∠CDH，则，可列出方程求出CH的长，则可得出答案； （3）设P（t，），得出N（t﹣3，），由点N在直线AB上可得出t的值，则可得出答案． 【解答】解：（1）将A（m，0）代入y＝﹣x+1， 解得m＝3， ∴A（3，0）， 将B（﹣3，n）代入y＝﹣x+1， 解得n＝2， ∴B（﹣3，﹣2）， 把A（3，0），B（﹣3，2）代入y＝x2+bx+c中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2． （2）如图1，过点D作DH⊥y轴于点H， ∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2． ∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝， ∴DH＝， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACO+∠DCH＝90°， 又∵∠DCH+∠CDH＝90°， ∴∠ACO＝∠CDH， ∴tan∠ACO＝tan∠CDH， ∴， 由（1）可知OA＝3，OC＝2， ∴， ∴CH＝， ∴D（，﹣）； （3）如图2，若平移后的三角形为△PMN， 则MN＝OC＝2，PM＝OA＝3， 设P（t，t﹣2）， ∴N（t﹣3，t﹣2﹣2）， ∵点N在直线y＝﹣x+1上， ∴（t﹣3）+1， ∴t＝3或t＝﹣3， ∴P（3，4﹣）或P（﹣3，4+）． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，平移的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程确定点的坐标． 例2（2022年金山一模24）已知：抛物线 y x2 bx c 经过点 A（0，1）和 B（1，4），顶点为点 P，抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 Q. （1） 求抛物线的解析式； （2） 求∠PAQ 的度数； （3） 把抛物线向上或者向下平移，点 B 平移到点 C 的位置，如果 BQ=CP，求平移后的抛物线解析式. 解：（1）根据题意………………………………………………………（2分） 解得：，。 ∴抛物线的表达式是…………………………………………………（2分） （2），∴顶点P的坐标是（2，5）.