卷03 古典概型与几何概型-【小题小卷】冲刺2022年高考数学小题限时集训(全国专用)

专题03 古典概型与几何概型 难度：★★★★☆ 建议用时： 30分钟 正确率 ： /30 一、单选题 1．（2022·山西太原·高三期末（文））齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马､中等马､下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获胜，则田忌获胜的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 对马匹进行编号，列出所有基本事件并求总数，找出田径获胜的基本事件并基数，根据古典概型概率计算方法即可计算概率. 【详解】 设齐王的上等马、中等马、下等马分别为， 设田忌的上等马、中等马、下等马分别为， 每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜. 基本事件有：， 共6个， 田忌获胜包含的基本事件有：，只有1个， 田忌获胜的概率为. 故选：B. 2．（2022·云南昭通·高三期末（文））如图，在正方形中，是等腰直角三角形，以为直径的圆O恰好经过点E，在正方形中任取一个点，则该点恰好取自阴影部分的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 计算出面积由几何概型概率计算公式可得答案. 【详解】 设正方形的边长为2，则的面积， 弧所在的半圆面积， 故选：B. 3．（2022·江西九江·一模（文））如图，在中，D，E为线段上两点，现从A，B，C，D，E这五个点中任取三个点，则这三个点能构成一个三角形的概率为（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用古典概型概率公式即求. 【详解】 从A，B，C，D，E这五个点中任取三个点， 共有，，，，，，，，，，共10个基本事件， 其中可构成三角形的有：，，，，，，共6个基本事件， 所求概率为. 故选：B. 4．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数，若是从三个数中任取一个，是从五个数中任取一个，那么恒成立的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先把的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是15个，满足条件的事件是9个，即可得出答案. 【详解】 当时， 当且仅当时，取“＝”， ∴， 于是恒成立就转化为成立； 当时， ， 设事件A：“恒成立”， 则基本事件总数为15个，即 （0，1），（0，2）（0，3），（0，4），（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）； 事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）共9个 所以. 故选：A. 5．（2022·江西赣州·高三期末（文））已知实数满足，则直线与圆有公共点的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 解对数不等式得，再根据直线与圆的位置关系得，最后根据几何概型求解即可. 【详解】 解：因为， 所以，即， 因为直线与圆有公共点， 所以，解得， 所以直线与圆有公共点的概率为 故选：D 6．（2022·江西新余·高三期末（文））如图，三棱锥的四个面都为直角三角形，平面，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，现在球O内任取一点，则该点取自三棱锥内的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 求得三棱锥的外接球O的半径，以几何概型即可解决. 【详解】 三棱锥中，平面，则， 直角三角形中，，则 又，，则平面，则 则线段中点为三棱锥的外接球的球心， 又由，可得，则三棱锥的外接球的半径为1 故在球O内任取一点，该点取自三棱锥内的概率为 故选：D 二、填空题 7．（2022·全国·高三专题练习）如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角形，设.若在大等边三角形内任取一点P，则该点取自小等边三角形内的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 设，由正弦定理可得，从而可求的值，再由正弦定理可得，进而根据所求概率为代入即可求解. 【详解】 解：设，由题意可得，化简得，， 又由正弦定理可得，即， 所以所求概率为， 故答案为：. 8．（2021·全国·高三专题练习）黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形.例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108°的黄金三角形组成，如图所示，在黄金三角形中，.