卷05 外接球与截面-【小题小卷】冲刺2022年高考数学小题限时集训(全国专用)

专题卷05 外接球与截面 难度：★★★★☆ 建议用时： 30分钟 正确率 ： /30 一、单选题 1．（2022·全国·高三阶段练习（文））某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的外接球的表面积（单位：）为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由三视图还原几何体为直三棱柱，将其补全为长方体，由它们的外接球相同求球体半径，利用球体表面积公式求面积. 【详解】 由三视图知：几何体为直三棱柱，如下图示：将其补全为长方体， 所以长方体的外接球也是该几何体的外接球，故外接球半径为， 则几何体的外接球的表面积. 故选：C 2．（2022·全国·高三专题练习）如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（       ） A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行 B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行 C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行 D．平面截正方体所得的截面为五边形 【答案】D 【分析】 根据题意可得 交平面于点， 交平面于点， 交平面于点， 故不存在某条棱与平面平行，即可以判断选项A错误； 由六个面的12条面对角线与平面都相交，即可判断选项B错误； 体对角线全部与面相交，即可判断选项C错误； 补全图形可得平面截正方体所得的截面为五边形，即可以判断选项D正确. 【详解】 对于选项A，交平面于点，平面， 都不与平面平行， 交平面于点，平面， 都不与平面平行，    交平面于点，平面， 都不与平面平行， 故A错误； 观察几何体可知六个面的12条面对角线与平面都相交， 故B错误； 四条体对角线全部与面都相交， 故C错误. 如下图，取中点为，易得， 取中点为，连接，易得， 再取中点为，连接，则， ， 是平面与正方体底面的交线， 延长，与的延长线交于，连接，交于， 则可得五边形即为平面交正方体的截面， 故D正确；                   故选：D. 3．（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在三棱锥P—ABC中， PA⊥平面ABC，BA=BC，∠PBC=90°，PA=2，若三棱锥P—ABC体积为6，则三棱锥P—ABC外接球的表面积为（       ） A．18π B．24π C．36π D．40π 【答案】D 【分析】 取PC的中点O,确定三棱锥外接球的球心位置，利用三棱锥体积求出AB，从而可得求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥P-ABC的外接球的表面积． 【详解】 取PC的中点O, 由平面ABC，BC在平面ABC内,得 , 又∠PBC=90°，   , , 所以平面PAB，从而, 所以AC是 的外接圆的直径， 在 中，有OA=OP=OC, 在 中，有OP=OC=OB,故OA=OP=OC=OB, 故O是三棱锥P-ABC的外接球的球心， 由三棱锥P-ABC的体积为6可得： , 故 ,所以 , 所以 ,故外接球半径 , 故三棱锥P—ABC外接球的表面积为 , 故选：D. 4．（2022·全国·高三专题练习）已知长方体中，，点在线段上，，平面过线段的中点以及点，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设线段的中点为M，平面与交于点G，连接GE，由已知得四边形是平行四边形，所以，随着点E从C向移动，则点G沿着向下运动，当点G仍在线段上时，面截长方体所得截面始终是平行四边形，临界状态为点E为的中点，由此可得选项. 【详解】 解：设，则，设线段的中点为M，平面与交于点G，连接GE， 若平面截长方体所得截面为平行四边形，即四边形是平行四边形，所以， 随着点E从C向移动，则点G沿着向下运动，当点G仍在线段上时，面截长方体所得截面始终是平行四边形，则点G从的中点开始运动，此时点E与重合，直到点G运动到点D为止，此时点E为的中点，所以临界状态为点E为的中点，此时，所以， 故选：D. 【点睛】 方法点睛：对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的"静"是指问题中的不变量或者是不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性."静"只是"动"的瞬间，是运动的一种特殊形式，然而抓住"静"的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解. 5．（2021·江苏·高三阶段练习）在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，底面ABC是边长为的正三角形，M为AC的中点，球O是三棱锥P－ABM的外接球．若D是球0上一点，则三棱锥D－PAC的体积的最大值是（       ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】 设的中点为，则的外接圆的直径为，圆心为，半径为，设三棱锥的外接球的半径为，球心为，利用勾股定理求