专题07 数列之裂项证明不等式-【题型专项突破系列之数列】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

数列之裂项证明不等式 一、解答题(共30题) 1．已知正项数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和，并证明. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由可求得的值，令，由得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式； （2）分析可得出，利用裂项求和法可求得，对分奇数和偶数两种情况讨论，分析数列的单调性 ，进而可证得所证不等式成立. 【详解】 （1）当时，，，解得； 当时，由得， 上述两个等式作差得. ， 是正项数列，，故. 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故； （2）由（1）可知， 因此，. 当为奇数时，单调递减，此时； 当为偶数时，单调递增，此时. 综上所述，. 2．在①；②；③（）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解. 已知数列中，，__________. （1）求； （2）若数列的前项和为，证明：. 【答案】选①②③（1）；（2）答案见解析. 【分析】 选①：（1）利用累加法以及等差数列前项和公式即可求解；选②：将 整理后即可得 是等差数列，求其通项公式可得；选③：根据已知化简为， 可得是等差数列，求其通项公式可得；（2）利用裂项求和求出，再利用不等式放缩和单调性即可求证. 【详解】 （1）选①： 由（）可得： 当时， 当时，，符合， 所以当时，； 选②： 由，可得， 即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，所以； 选③： 由可得， 即， 又，所以是首项为4，公差为4的等差数列， 所以，所以； （2）证明：由（1）得， 所以， 因为，所以， 又因为随着的增大而增大，所以， 综上. 3．设数列的前n项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求证：数列的前n项和. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）利用和与项的关系消去和得到项的递推关系，得到，再在已知关系中令求得，并验证，判定数列为等比数列，得到通项公式； （2）由（1）的结论写出，利用裂项求和法得到数列的前n项和，利用不等式的基本性质证得. 【详解】 因为， 所以． 所以， 所以， 又因为，，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则． （2）证明：因为，则. 则， 所以. 4．给出以下三个条件：①，，成等差数列；②对于，点均在函数的图象上，其中为常数；③.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解. 设是一个公比为的等比数列，且它的首项，___________； （1）求数列的通项公式； （2）令，证明：数列的前项和. 【答案】条件选择见解析；（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）根据所选择的条件的不同，利用等比数列的通项公式，一般数列和与项的关系，等比数列的和(三项时可以直接写出和，不必使用等比数列的求和公式)，求得数列的通项公式； （2）利用对数的运算化简后，可以利用裂项求和法求得的表达式，然后利用不等式的基本性质即可得证. 【详解】 解：（1）若选择条件①： 由，，成等差数列，得，即，又，所以， 解得或（舍去），故； 若选择条件②： 由题意得，因为，所以， 所以，当时，， 检验可知当时，满足上式， 所以； 若选择条件③： 由，得，又， 所以，解得或（舍去）， 所以； （2）证明：由（1）可知， 则， 所以， 因为，所以，故. 5．已知数列是等比数列，为数列的前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，且为递增数列，若，设为数列的前项和，求证：. 【答案】（1）或；（2）证明见解析. 【分析】 （1）设等比数列的公比为q，利用基本量代换建立方程组求出首项和公比，即可得到的通项公式； （2）先求出，得到，利用裂项相消法求出，即可证明. 【详解】 （1）设等比数列的公比为q，由，得： ，解得：或， 所以或， 所以数列的通项公式为或. （2）若时，，与题意不符； 当时，. 所以， 故. 6．在等差数列中，，其前n项和为，各项均为正数的等比数列中，，且满足，． （1）求数列与的通项公式； （2）若数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析 . 【分析】 （1）设数列的公差为d，的公比为q，可得，解得q，d即可； （2）由（1）得．可得，即可证明． 【详解】 解：（1）设数列的公差为d，的公比为q， 因为，，，所以， 解答，（负值舍去）， 故，； （2）证明：由（1）得， 所以． 所以数列的前n项和为， 所以． 7．某同学在复习数列时，发现曾经做过的一道题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清（即下题中“已知”后面的内容看不清），但在（1）的后面保留了一个“答案：成等差数列”的记录，具体如下： 记等比数列的前n项和为，已知___________________． ①判断的关