专题09 数列之证明恒成立问题-【题型专项突破系列之数列】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

数列之证明恒成立问题 一、解答题(共30题) 1．已知公比的等比数列和等差数列满足：，，其中，且是和的等比中项． （1）求数列与的通项公式； （2）记数列的前项和为，若当时，等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）根据已知条件可得出关于方程，解出的值，可求得的值，即可得出数列与的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得，分析可知数列为单调递增数列，对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可得出实数的取值范围. 【详解】 （1）设等差数列的公差为， 因为，，，且是和的等比中项， 所以，整理可得，解得或. 若，则，可得，不合乎题意； 若，则，可得，合乎题意. 所以，;； （2）因为，① ，② ②①得． 因为，即对恒成立， 所以． 当且，，故数列为单调递增数列， 当为偶数时，，所以； 当为奇数时，，所以，即. 综上可得． 2．已知正项数列及其前项和满足：． （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前项和为．若不等式对任意都成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 (1)根据与的关系由求出数列的通项公式；(2)由(1) ，利用裂项相消法求数列的前n项和，再由对任意都成立求M的范围. 【详解】 解：（1），则得 当时，， 得又是正项数列，所以， 所以为等差数列， 所以 （2） 所以 故要使对任意都成立， 只需对任意都成立即可． 又， 所以，当，即时， 所以 3．在数列中，已知，()． （1）证明：数列为等比数列； （2）记，数列的前n项和为，求使得的整数n的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）10． 【分析】 （1）由递推式可得，并求出，依据等比数列的定义可证结论； （2）由（1）求出，进而写出，应用裂项相消法求，最后依据题设不等式求的范围，进而确定其最小值. 【详解】 （1）证明：由，得，从而， ∴，又， 故数列为等比数列； （2）解：由（1）得，故， ∴， ， 令，则，解得， ∵， ∴． 故使得的整数n的最小值为10； 4．设是等差数列，，且成等比数列， （1）求的通项公式： （2）记的前n项和为，求使得成立的n的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】 （1）设数列的等差为d，根据已知建立方程，解之可得数列的通项公式. （2）由（1）得，由已知得不等式，解之可求得n的取值范围. 【详解】 解：（1）∵是等差数列，，且成等比数列，设数列的等差为d，. ∴，∴，解得， ∴； （2）由，得， 由，得，即，解得或. 又，∴n的取值范围为或. 5．在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn； （3）是否存在k∈N*，使得对任意n∈N*恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，19. 【分析】 （1）由已知结合等比中项的性质可得a3＋a5＝5，再由a3a5＝4，求出a3、a5，进而求、a1，写出通项公式即可. （2）由（1）及已知可得bn＋1－bn＝－1、b1＝4，根据等差数列前n项和公式写出Sn； （3）由（2）知，则n＝8或n＝9时有最大值，进而可判断k的存在性. 【详解】 （1）∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，则，所以(a3＋a5)2＝25，又an>0， ∴a3＋a5＝5，又a3与a5的等比中项为2，即a3a5＝4，而q∈(0,1)，则a3>a5， ∴a3＝4，a5＝1，可得，a1＝16， ∴. （2）∵bn＝log2an＝5－n，则bn＋1－bn＝－1，又b1＝5－1＝4， ∴{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列， ∴. （3）由（2）知，. 当n≤8时，；当n＝9时，；当n>9时，. ∴当n＝8或n＝9时，最大. 故存在k∈N*，使得对任意n∈N*恒成立，k的最小值为19. 6．已知正项数列的前项和为，且，数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），，；（2）． 【分析】 （1）根据和与通项关系，通过作差化简即可求解数列和的通项公式； （2）化简数列得，结合裂项相消法求出，再解一元二次不等式即可． 【详解】 解：（1）对于数列：当时，， 化简整理，得， 解得（舍去），或， 当时，由， 可得， 两式相减，可得， 化简整理，得， ， ，即， 数列是以5为首项，2为公差的等差数列， ，， 对于数列：当时，，解得， 当时，由， 可得， 两式相减，可得， 解得， 当时，也满足上式， ，． （2）由