专题08 数列之放缩法证明不等式-【题型专项突破系列之数列】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

数列之放缩法证明不等式 一、解答题(共30题) 1．已知函数.把方程的正数解从小到大依次排成一列，得到数列，． （1）求数列的通项公式； （2）记，设数列的前项和为，求证． 【答案】（1）；（2）证明见解析； 【分析】 （1）根据正弦函数的性质求出方程的解，依次列出其正数解得前几项，即可得出数列的通项公式． （2）利用（1）的结论，进一步利用放缩法和裂项相消法求出结果． 【详解】 解：（1）因为，令，即，所以 解得：，所以方程的正数解从小到大依次为、、、、， 所以 （2）记，数列的前项和为， 所以 2．设数列满足：．设为数列的前n项和，已知，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和； （3）证明：对任意且，有． 【答案】（1）; （2） （3）证明见解析. 【分析】 (1)由题意可得数列是以3为公比的等比数列，可得通项公式，当时先求出，当时，由可判断出数列是以2为公比的等比数列，可得其通项公式. (2)由由错位相减法求和可得答案. (3) ,当时验证不等式成立，当时，，得出，然后由等比数列求和公式可证明. 【详解】 （1）由，所以数列是以3为公比的等比数列，则 又当时，，又，即 所以 当时， 所以，所以数列是以2为公比的等比数列，则 （2）由 则 两式相减得： 所以 （3） 当时， 当时，，所以 所以对任意且，有 3．已知数列、满足，，当时，． （1）求数列、的通项公式； （2）若，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析． 【分析】 （1）由已知条件推导出，利用累加法可求得数列的通项公式，进一步可求得数列的通项公式； （2）分析可得当时，，然后分、两种情况讨论，结合等比数列的求和公式可证得结论成立. 【详解】 （1）， 所以，，即， 所以， ， 所以，. 因为当时，，故； （2）时，当时，， 当时，； 当时，． 综上所述，对任意的，. 4．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＝3，且a1，a2+6，a3成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式． （2）若数列{bn}满足b1＝1，bn+bn+1＝（2n+1）an，记，若，证明：＜2． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）设的公比为q，利用通项公式基本量代换建立方程组，解出q，写出通项公式； （2）由，可得：， 两式相加后整理化简求出，由当时，，用裂项相消法求和即可证明 【详解】 （1）设的公比为q，则， 由题意得：a1，a2+6，a3成等差数列，所以， 因为a1＝3，所以，解得：或. 因为a1＝3，数列{an}是递增数列，所以， 所以. （2）由，可得： ， 两式相加得： 所以 所以，即. 所以当时，， 所以. 即证. 5．已知数列的前项和为，，，数列为等差数列. （1）求数列的通项公式 （2）设数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由数列为等差数列，可得，，可得：； （2）， 通过放缩裂项相消即可得解. 【详解】 （1）因为数列为等差数列， 所以公差， 从而， 所以. 当时，， 又适合上式，所以. （2）证明：由（1）可知. 因为， 所以 . 因为，所以. 6．数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）设若数列的前n项的和是，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）先利用已知式判断数列是等比数列，再根据公式写等比数列的通项公式，即解得数列的通项公式； （2）先化简数列的通项公式，并进行放缩和裂项得到，再求和即证结论. 【详解】 解：（1）由题知，所以，， 故数列是首项为2，公比的等比数列， 所以，所以； （2），根据指数增长特征知，对任意恒成立. 所以， 所以数列的前n项的和. 7．已知数列是公比的等比数列，且，，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，，，记，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由，，成等差数列求出，然后由求出即可； （2）利用累乘法求出，然后，然后可得答案. 【详解】 （1）由，，成等差数列，得，即， 两边同时除以得，解得（舍去）或， 由得，所以， 所以. （2）由（1）得，， 所以， 又满足上式，故. 所以， 所以 . 8．已知公差不为0的等差数列的首项，前项和为，且，，成等比数列，数列满足：． （1）求数列，的通项公式： （2）设，求证：． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由，，成等比数列，且，求得，得到，再由，求得. （2）由，结合消项法，即可求解. 【详解】 （1）设等差数列的公差为，其中， 因为，，成等比数列，所以， 可得，所以， 又由，可得，解得或（舍去， 所以，则， 又因为，则，所以. （2）由题意，可得， 所以， 故． 9．已