专题06 数列之分组与其他方法求和-【题型专项突破系列之数列】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

数列之分组与其他方法求和 一、解答题(共30题) 1．已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，，设，求数列的前n项和为. 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）根据已知条件求得，由此求得的通项公式. （2）先求得，然后根据分组求和法求得. （1） 设等差数列的公差为d， 则， 又，得，解得， 所以. （2） 设等比数列的公比为q， 则，，所以，， ， 则， 所以 . 2．设等比数列的前项和为，且，试从下列两个条件：①，②中选取一个条件解答下列问题： （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】 （1）； （2）. 【分析】 （1）根据题意和等比数列的性质可得出，若选择条件①，可得，即可求出和，最后根据等比数列的通项公式求出的通项公式；若选择条件②，可得，即可求出和，最后根据等比数列的通项公式求出的通项公式； （2）由（1）得，从而可得出，再利用分组求和法和等比数列的求和公式，即可求出数列的前项和. （1） 解：因为，是等比数列， 所以，解得：， 若选择条件①，由，可得，则， 所以，公比，所以； 若选择条件②，由，可得，则， 所以，公比，所以. （2） 解：由（1）得，， ， 所以 ， 所以数列的前项和. 3．数列和满足，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】 （1），； （2）. 【分析】 （1）根据等比数列的定义可得的通项公式，进而可得，再由累加法可得的通项公式； （2）求出，再由乘公比错位相减求和，分组求和，等差数列求和即可求解. （1） 因为，， 所以数列是首项是，公比为的等比数列，所以， 因为， 所以，，，，， 以上各式累加可得： ， 因为，所以． 所以数列，的通项公式分别为，． （2） 因为， ， ， 设， 则， 所以， 所以，所以． 4．1.已知数列满足，． （1）设，证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】 （1）证明见解析 （2） 【分析】 （1）先化简，再推导出等于一个常数，即可证明结论；（2）结合第一问，先求出的通项公式，再结合的特点，采用错位相减法和分组求和法进行求解 （1） 其中，所以数列为以为首项，公比为的等比数列. （2） 由（1）知： 所以，故 故 令① ② 两式相减： ，又 所以 5．已知数列是公比为的等比数列，且满足，，成等比数列，为数列的前项和，且是和的等差中项，定义，记，求数列的前项和. 【答案】 【分析】 由题意，即，又，，成等比数列，故，可得，利用等差数列的通项公式可得，由是和的等差中项，可得，项和转换可得，即，故为以为首项，2为公比的等比数列，可求得，令，结合单调性分析可得当时，；当时，，故，分组求和即得解 【详解】 由题意，数列是公比为的等比数列， 故，即， 故数列是公差的等差数列 由于，，成等比数列，故 即 由于是和的等差中项，故 当时， 当时， 故为以为首项，2为公比的等比数列 即 ，也满足 故 令， 故当时，；当时， 故当时，单调递减 且，结合单调性 当时，；当时， 由于 故当时， 当时， 综上： 6．已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）利用的关系可得，即可知为等比数列，写出等比数列通项公式即可. （2）由（1）得，利用分组求和，并结合错位相减法及等差、等比前n项和公式求. 【详解】 （1）当时，，解得， 当时，，则，即， 又，则， ∴（常数），故是以为首项，以3为公比的等比数列， ∴数列的通项公式为． （2）由（1）可得：， ∴， 设，则 ∴， ∴，又， ∴ 7．设数列的前n项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的表达式 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据可得，再根据累乘法即可求出数列的通项公式； （2）由，利用并项求和法，先求出为偶数时的表达式，即可求出为奇数时的表达式，从而解出． 【详解】 （1）当时，，即， 当时，， 即，因此， 所以 即，经检验，时成立，所以． （2）， 所以，当n为偶数时 ； 当n为奇数时，． 综上所述，． 8．已知正项等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和为，． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和的取值范围． 【答案】（1），；（2）. 【分析】 (1)设公差d，结合等差数列中项的表示和等比数列的性质，解得d，即得的通项公式；利用判断是等比数列，即得其通项公式； (2)代入计算，结合公式法和裂项相消法，进行分组求和，再判断值的情况即可. 【详解】 解：（1）设正项等差数列的公差为d，则， ∵，且成等比数列，∴，解得， ∴， 由得，即是等比数列， 又，∴； （2） ∴ ∵，∴. 9．已知数列的