易错点14 立体几何中的角-备战2022年高考数学考试易错题（全国通用）

易错点14 立体几何中的角 易错点1：异面直线所成的角 1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。  2.求异面直线所成角的步骤：  ①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。  ②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。  3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。  4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。 易错点2：直线与平面所成的角 1.传统几何方法： ①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。 ②利用三面角定理（即最小角定理）求。 2.向量方法：设为平面的法向量，直线与平面所成的角为，则 易错点3：二面角 用向量求二面角大小的基本步骤 1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标； 2.求出平面的法向量，平面的法向量 3.进行向量运算求出法向量的夹角； 4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果： 题组一：异面直线所成的角 1．（2021年全国高考乙卷数学（文理）试题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 2.(2018全国卷Ⅱ)在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解法一 如图， 补上一相同的长方体，连接，． 易知，则为异面直线与所成角． 因为在长方体中，，， 所以，， ， 在中，由余弦定理，得， 即异面直线与所成角的余弦值为，故选C． 解法二 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由条件可知，，，， 所以，， 则由向量夹角公式，得， 即异面直线与所成角的余弦值为，故选C． 3．(2017新课标Ⅱ)已知直三棱柱中，，， ，则异面直线与所成角的余弦值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线与所成角为 , ，， ∴．选C． 4.（2015浙江）如图，三棱锥中，，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是 ． 【答案】 【解析】如图连接，取的中点，连接，则． 则异面直线，所成的角为，由题意可知，， ∴．又，，，∴， 则． 题组二：直线与平面所成的角 5. 【2021年浙江卷】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）在中，，，，由余弦定理可得， 所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以． （2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则, 又为中点，所以. 由（1）得平面，所以平面的一个法向量 从而直线与平面所成角的正弦值为． 6.（2020•北京卷）如图，在正方体中，E为的中点． （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则、、、，，， 设平面的法向量为，由，得， 令，则，，则.. 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 7.（2020年全国2卷）如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. （1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F； （2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值. 【解析】（1）分别为，的中点，,又,, 在中，为中点，则,又侧面为矩形， ,,,由，平面, 平面,又，且平面，平面， 平面,又平面，且平面平面, , ,又平面,平面,平面, 平面平面, （2）连接, 平面，平面平面,, 根据三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面, ,故：四边形是平行四边形,设边长是(), 可得：，,为的中心，且边长为, ,故：,,, ,解得：,在截取，故, 且,四边形是平行四边形，, 由（1）平面