课时作业(十六) 二倍角的三角函数（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【金版新学案】同步导学（湘教版）

课时作业(十六)　二倍角的三角函数 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [A级　基础达标] 1．已知sin α＝，则cos (π－2α)＝(　　) A．－ B．－ C． D． B　[cos (π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×()2－1＝－.] 2．化简·cos 28°的结果为(　　) A．sin 28° B．sin 28° C．2sin 28° D．sin 14°cos 28° A　[原式＝tan 28°·cos 28°＝sin 28°，故选A.] 3．化简＝(　　) A．1 B．2 C． D．－1 B　[＝ ＝＝2.] 4．已知向量a＝(2，sin x)，b＝(cos2x，2cosx)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是(　　) A． B．π C．2π D．4π B　[∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sinx cos x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin ， ∴f(x)＝a·b的最小正周期是π.] 5．已知α∈，sin (π－2α)＝－，则sin α－cos α＝(　　) A． B．－ C． D．－ D　[由已知得sin 2α＝－，即2sin αcos α＝－，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.又α∈，所以sin α<cos α，所以sin α－cos α＝－，故选D.] 6．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________． 解析：　因为sin 2α＝2sin αcos α，而sin 2α＝－sin α，α∈， 故cos α＝－，α＝， 所以tan 2α＝＝. 答案：　 7．求值：－＝________． 解析：　原式＝ ＝ ＝ ＝＝4. 答案：　4 8．已知α∈，且cos α＝－，则tan 2α的值为________，的值为________． 解析：　因为α∈，cos α＝－， 所以sin α＝＝＝， 所以tanα＝＝－. 所以tan 2α＝＝＝. 所以sin2α＝2sin αcos α＝2××＝－， cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－， 所以＝＝－7. 答案：　　－7 9．已知cos x＝，且x∈，求cos ＋sin2x的值． 解析：　∵cos x＝，x∈， ∴sin x＝－＝－， ∴sin 2x＝2sin xcos x＝－， ∴cos ＋sin2x ＝＋ ＝－sin 2x＝－×＝. 10．某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数． cos215°＋cos215°－sin15°sin 15°； cos280°＋cos2(－50°)－sin 80°sin(－50°)； cos2170°＋cos2(－140°)－sin 170°sin(－140°). (1)求出这个常数； (2)结合(1)的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论． 解析：　(1)cos215°＋cos215°－sin 15°·sin 15° ＝2cos215°－sin215° ＝1＋cos 30°－(1－cos 30°) ＝1＋－×＝. (2)推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝. 证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α， cos2α＋cos2β－sin αsin β ＝cos2α＋cos2(30°－α)－sin αsin (30°－α) ＝cos2α＋－sin α · ＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos αsin α＋sin2α ＝cos2α＋sin2α＝. [B级　能力提升] 11．在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 B　[由sin Bsin C＝cos2得sin Bsin C＝， ∴2sin Bsin C＝1＋cos A，∴2sin Bsin C＝1＋cos [π－(B＋C)]＝1－cos (B＋C)， ∴2sin Bsin C＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C， ∴cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，∴cos (B－C)＝1. 又∵－180°<B－C<180°，∴B－C＝0°. ∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形．] 12．已知角α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan (β－α)＝，则tan α＝________，β＝________． 解析：　由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin2α) ＝sin αcos α， 即2sin2α＝sin αcos α. ∵α为锐角，∴sin