第六讲数量积的坐标表示、模、夹角专题讲义-2021-2022学年高一下学期数学人教A版必修4

第 六 讲 数量积的坐标表示、模、夹角 ⚫ 考点全解 知识梳理 夯实基础 知识点 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1．平面向量数量积的坐标表示 ，，则 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 2．平面向量长度（模）的坐标表示 （1）若，则有，. 其含义是：向量的长度（模）等于向量横、纵坐标平方和的算术平方根. （2）平面内两点间的距离公式 已知原点，点，，则，于是. 3．平面向量垂直的坐标表示 已知非零向量，，由于，又，故. 即：两个非零向量垂直的等价条件是它们相应坐标乘积的和为0. 4．平面向量夹角的坐标表示 已知非零向量，，是与的夹角，由于， 且，，， 所以 ⚫ 考向剖析 考法整合 分类解读 题型1 平面向量数量积的坐标表示 已知，，求（1）；（2）；（3）;（4）. 例1 【变式1-1】 已知，，求（1）；（2）；（3）；（4）． 【变式1-2】 已知，，．求（1）；（2）； （3）；（4）． 题型2 向量的垂直及应用 已知向量，，，若，则 . 例2 【变式2-1】 已知平面向量，，若与垂直，则 . 【变式2-2】 已知，，若，则与的夹角为 . 题型3 与向量夹角有关的参数问题 已知向量，. 例3 （1）若向量与垂直，求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围； （3）求和夹角的余弦值. 【变式3-1】 已知向量，，若，则实数 . 【变式3-2】 已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 题型4 向量数量积的最值 已知在直角三角形中，为直角，，，若是边上的高，点在内部或边界上运动，则的取值范围是 . 例4 【变式4-1】 在中，，，为平面内一点，则的最小值为 . 【变式4-2】 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为 . 题型5 向量的模的最值 已知点和，为坐标原点，则（）的最小值为 . 例5 【变式5-1】 已知在直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为 . ⚫ 巩固练习 巩固解题策略 培养核心素养 1．在平行四边形中，，，，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，．若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围是____________ 3．（1）已