专题01 数列之构造法求解析式-【题型专项突破系列之数列】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

数列之构造法求解析式 一、解答题(共40题) 1．已知数列和满足：，，数列的前项和为. （1）求数列和的通项公式： （2）设数列，求数列的前项和. 【答案】 （1）， （2） 【分析】 （1）构造等比数列，求解的通项公式；利用 求解的通项公式；（2）根据第一问的求解，得到，其中利用错位相减法求和，进而求出数列的前项和 （1） ∵ ∴设，整理： ∴ ∴ ∴公比是2的等比数列 ∴ ∴ 当时 当时，，符合 故的通项公式为： （2） ∴设的前n项和为 则① ② ①-②得： ∴ ∴ 2．设各项均为正数的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列． （1）求数列的公差； （2）数列满足，且，求数列的通项公式． 【答案】 （1）； （2）. 【分析】 （1）根据，，成等比数列可得，利用表示出和，解方程组可求得，结合可得结果； （2）由（1）可得，整理得，可知数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到结果. （1） （1）设等差数列的公差为， ，，成等比数列，，即， 又，解得：或； 当时，，与矛盾，， 即等差数列的公差； （2） 由（1）得：，，即， ，又，解得：， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，整理可得：. 3．已知数列{an}中，a1=3，，n∈N*. （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由递推关系可得，再根据等差数列的定义得，即可知{an}的通项公式； （2）由（1）得，应用错位相减法求{an}的前n项和Sn. 【详解】 （1）由得：， ∴，即数列是首项为，公差为的等差数列， ∴，故. （2）由（1）得：， ∴①，②， ①②得： ∴ . 4．已知数列满足，，数列满足，． （1）证明数列为等比数列并求数列的通项公式； （2）数列满足，设数列的前项和，证明：． 【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析. 【分析】 （1）要证明数列为等比数列，只要证明等于一定值即可，由代入化简即可得证，然后跟等比数列的通项求出答案即可； （2）求出数列的通项，利用将裂项成，即可求得数列的前项和，从而证明结论. 【详解】 解：（1）证明：当时，， 又，数列是首项为2，公比为2的等比数列， ，； （2）证明：，， 当时， 当时， ， 当时符合，， ， ． 又，． 5．已知数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）由，变形为，利用等比数列的通项公式可得，再利用与的关系即可得出答案； （2）将裂项为，裂项相消求和即可. 【详解】 解：（1）因为， 所以， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以， 当时， ， 当时也成立， 所以. （2）令， 所以数列前项和 . 6．已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列的前项和为，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出的通项公式； （2）错位相减法求数列的和. 【详解】 （1）因为，令，则，又， 所以， 对两边同时除以，得， 又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以，故； （2）由（1）得： 所以， 则 两式相减得 所以 故 7．已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）令的前项和为，求证：， 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）令可求得的值，推导出，可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，求出的表达式，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用裂项相消法可求得，即可证得结论成立. 【详解】 （1）因为，令，则，又，所以. 对两边同时除以，得， 又因为，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，故； （2）由（1）得： 所以 因为，所以，故，即. 8．已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）将已知递推式两边同除以，由等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和. 【详解】 解：（1）由， 可得=1， 则数列是首项为=1，公差为1的等差数列， 则=， 即； （2）， . 9．已知数列中，. （1）求证：数列是常数数列； （2）令为数列的前项和，求使得的的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为. 【分析】 （1）将递推关系式变形为即可证明； （2）先求出数列的通项公式，再分奇偶讨论求，然后解不等式即可. 【详解】 （1）由得：，即 ，即有数列是常数数列； （2）由（1）知： 即， 当为偶数时，，显然无解； 当为奇数时，，令，解得：， 结合为奇数得：的最小值为 所以的最小值为 10．已知数列中，，为数列的前项和，当时，．