专题05 数列之裂项相消求和-【题型专项突破系列之数列】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

数列之裂项相消求和 一、解答题(共30题) 1．已知等差数列的公差，前项和为，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）结合等差数列前n项、等差数列通项公式和等比数列性质，解关于的方程即可求解； （2）由（1）结合裂项公式得，采用累加法即可求解. （1） 因为成等比数列，则， 即，化简得：， ，① 又，则，即，② 联立①②解得：， . （2） 当时， 所以时，. 2．已知数列，满足，，且，. （1）写出，，并求的通项公式； （2）记数列的前项和为，数列的前项和为，证明：. 【答案】 （1），， （2）证明见解析 【分析】 （1）由两数列的关系，的递推关系，得到数列的递推关系，再从基本定义出发构造等比数列，得到通项公式； （2）利用裂项相消法求和，由等比数列的前项和公式得后可得不等式成立． （1） 因为，， 所以，. 由得，， 又， 所以， 得， 得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，. 所以，. （2） 由（1）可知，. 所以， 所以数列得前项和. 数列的前项和， 所以. 易知， 所以. 3．已知数列的前和记其中表示不超过的最大整数，如 （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前项和 （3）求数列的项和. 【答案】 （1）； （2）=； （3）. 【分析】 （1）由，可知当时，，再利用，即可求出数列的通项公式； （2）由（1）得，=，再利用裂项相消法即可求出； （3）由（1）知，结合题意可求出，，，，即可求出数列的项和. （1） 解：，① 当时，，② 由①-②得， 当时，，满足上式， 数列的通项公式为：. （2） 解：由（1）知，=， 所以数列{}前项和为： ==. （3） 解：由（1）知， ， 由于在上单调递增，且 ，， ，， 数列的前500项和为：. 4．在①，②、、成等比数列，③.这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题. 问题：已知等差数列的公差为，前项和为，且满足___________. （1）求； （2）若，且，求数列的前项和. 【答案】 （1）条件选择见解析， （2） 【分析】 （1）根据所选条件，得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出数列的通项公式； （2）利用累加法可求得数列的通项公式，再利用裂项相消法可求得. （1） 解：①：因为、、成等比数列，则，即， 因为，可得. ②：，可得. ③：，可得，可得. 若选①②，则有，可得，则； 若选①③，则，则； 若选②③，则，可得，所以，. （2） 解：，且，则， 所以，当时，则有 ， 也满足，故对任意的，， 则， 所以，. 5．已知数列的前项和满足 （1）证明：数列为等比数列； （2）若数列为等差数列，且，，求数列的前项和． 【答案】 （1）证明见解析 （2） 【分析】 （1）由与的关系，利用等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求解即可 （1） 当时，， ． ， 当时，， ， ， 数列是以为首项、以为公比的等比数列． （2） 由（1）得，，即， ，． 设等差数列的公差为，则，， ，， ， 6．已知数列的前n项和为，，，设． （1）证明数列是等比数列并求数列的通项： （2）数列满足，设，求． 【答案】 （1）证明见解析， （2） 【分析】 （1）当时，由得出，两式相减得出，然后利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）由数列的通项公式，求出，然后利用裂项相消法即求． （1） 当时，由①，得② ①－②得，所以，又， 所以． 因为，且，所以，所以， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列， ∴. （2） 由，则， ∴ ∴ ∴. 7．已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）时，可得，时，代入，两式相减可得通项公式； （2）利用裂项相消法可求. （1） 因为， 当时，可得； 当时，可得， 两式相减得，即， 所以数列的通项公式为 （2） 当时，， 当时，， 则 . 8．已知数列是公比为的等比数列，且满足，，成等比数列，为数列的前项和，且是和的等差中项，记，求数列的前项和. 【答案】 【分析】 先根据条件推出是等差数列，求出的通项公式，代入到中，可以用裂项相消法求出的前项和 【详解】 ∵数列是公比为的等比数列 ∴即 ∴ ∴是等差数列，且公差为2 ∵，，成等比数列 ∴ 则 解得： ∴ ∴设数列的前项和为， 9．已知数列的前n项和为，其中，满足． （1）证明数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】 （1）由可得，即可证明； （2）可得，，，然后可算出答案. 【详解】 （1）由可得， 因为，所以 所以数