专题04 数列之错位相减求和-【题型专项突破系列之数列】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

数列之错位相减求和 一、解答题(共30题) 1．已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）由等差数列和等比数列的基本量法求得公差和公比后可得通项公式； （2）用错位相减法求数列的和． （1） 设的公差为d，的公比为q（q>0）， 由，得d+q=5① 再由得② 联立①和②解得或（舍去）， 所以. （2） 由（1）知， 则，① ，② ①-②，得 . 所以. 2．已知正项数列的前项和为，若是和的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前项和． 【答案】 （1）； （2）﹒ 【分析】 (1)根据和关系可求的通项公式； (2)根据通项公式可知，其前n项和采用错位相减法求解﹒ （1） ∵，∴当， ∴，， 因此当时： ， ∴， ∵， ∴时，即 ∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ； （2） ， ……① ……② ①－②得： ∴ ﹒ 3．在正项数列中，，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，，求数列的前n项积. 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）对两边取对数，得，从而可得是以1为首项，2为公比的等比数列，进而可求出数列的通项公式， （2）由（1）可得，然后利用错位相减法求解即可 （1） 因为，，， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以 （2） 由（1）可知， 所以数列的前n项积为 ， 令，则 ， 所以 ， 所以， 所以 4．已知函数满足，定义数列，，，数列的前n项和为，，且. （1）求数列､的通项公式； （2）令，求的前n项和； 【答案】 （1）; （2） 【分析】 （1）根据函数关系式确定数列的递推关系式，进而求解数列的通项公式； 根据数列的前n项和相关等式，结合数列通项和前 n项和之间的关系，求解数列 的通项公式即可. （2）由（1）中的通项公式确定数列的通项公式，再运用错位相减法求解数列的前n项和. 【详解】 （1）由题意知：，，又， 是以1为首项，2为公比的等比数列，故， 由，可得： 是等差数列，，，，当时，满足上式， ∴. （2）， ① 两边同乘公比得，② ①-②得化简得：. 5．已知数列中，，且， （1）求证：数列是等比数列； （2）若数列满足，，求其前项和为. 【答案】 （1）证明见解析； （2）. 【分析】 （1）根据题意，可知，根据递推关系和等比数列的定义，即可证明数列是等比数列； （2）由（1）和等比数列的通项公式，求出数列的通项公式，进而得出，再利用错位相减法求出数列的前项和为. （1） 解：由已知得，， ∴，则 ∴数列是首项为，公比为3的等比数列. （2） 解：由（1），得， ∴， ∴， ， 两式相减得，， ∴. 6．已知数列的首项为2，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】 （1）数列的通项公式为； （2）. 【分析】 (1)由可得，结合等比数列的概念和通项公式可得，由此求出数列的通项公式；(2)由(1)可得，利用错位相减法求其前n项和． （1） ∵ ， ∴ ， 又， ∴ 数列为首项为2，公比为2的等比数列， ∴ ， ∴ （2） 由(1) ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 7．已知数列的前项和为，且，________. 请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 （1）； （2）. 【分析】 （1）根据题意，易知数列为公差为1的等差数列，再结合所选条件求出，即可求解； （2）根据题意，结合错位相减法，即可求解. （1） 因为，所以，即， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列. 选①.由，得，即， 所以，解得. 所以， 即数列的通项公式为. 选②.由，，成等比数列，得， 则，所以. 所以. 选③.因为， 所以，所以. 所以. （2） 由题可知，所以， 所以， 两式相减，得 ， 所以. 8．在①，，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知为正项数列的前项和，___________. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）若选条件①，由两边同除，即可得到，从而得到是以为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式计算可得； 若选条件②，依题意可得，当时求出，当时，由得到，即可得到是以为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式计算可得； 若选条件③，依题意可得，即可得到，从而得到是以为首项，1为公差的等差数列，求出