专题03 数列之奇偶性讨论问题-【题型专项突破系列之数列】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

数列之奇偶性讨论问题 一、解答题(共30题) 1．解答下列各题：（奇表示奇数项和，偶表示偶数项和） （1）是等比数列，，项数为偶数．奇＝85，偶＝170，求； （2）是等差数列，共项，为奇数，，偶，，求通项公式． 【答案】（1）8；（2）. 【分析】 （1）根据等比数列前项和性质，有，由此可得； （2）由和偶求出奇，再由等差数列的前项和性质有奇－偶＝，求出数列的中间项，从而得，结合已知可得和，根据基本量法得通项公式． 【详解】 （1），所以，解得； （2）奇＝偶＝44，＝奇－偶＝44－33＝11，即，由，可得，∴． 所以通项公式为．. 2．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 问题：设是数列的前n项和，且，______________，求的通项公式，并判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 【答案】选①，，存在最大值，且最大值为4；选②，，存在最大值，且最大值为50；选③，，不存在最大值，理由见解析． 【分析】 选①先判断是首项为4，公比为的等比数列，再求，最后分为奇数和为偶讨论，分别判断存在最大值并求出最大值即可；选②先判断是首项为4，公差为的等差数列，再求出，最后判断存在最大值并求出的最大值；选③先求出，再判断不存在最大值． 【详解】 解：选①：因为，，所以是首项为4，公比为的等比数列． 所以． 当为奇数时，， 因为随着的增大而减小，所以此时的最大值为； 当为偶数时，，且， 综上，存在最大值，且最大值为4． 选②：因为，，所以是首项为4，公差为的等差数列． 所以， 由于，得，所以存在最大值，且最大值为或， 因为，所以的最大值为50． 选③：因为，所以， 所以，，…，， 所以， 又，所以， 当时，，故不存在最大值． 3．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 问题：设是数列的前项和，且，______，求的通项公式，并判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由. 【答案】选①：，存在，最大值4；选②：，存在，最大值50；选③：，不存在，理由见解析. 【分析】 若选①，可通过题意得出数列是首项为4、公比为的等比数列，然后分为为奇数、为偶数两种情况进行讨论，结合等比数列通项公式即可得出结果；若选②，可通过题意得出数列是首项为4、公差为的等差数列，然后根据、即可得出结果；若选③，可通过累加法得出，然后根据当时即可得出结果. 【详解】 选①：因为，即，， 所以数列是首项为4、公比为的等比数列，， 当为奇数时，， 因为随着的增大而减小，所以此时的最大值为； 当为偶数时，，且， 综上，存在最大值，且最大值为4. 选②：因为，即，， 所以是首项为4、公差为的等差数列，， ，解得，，， 故存在最大值，且最大值为或， ，的最大值为50. 选③：因为，所以， 所以，，…，， 则， 因为，所以， 当时，，故不存在最大值. 4．已知数列满足，，正项数列满足，且是公比为3的等比数列. （1）求及的通项公式； （2）设为的前项和，若恒成立，求正整数的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）求得，运用等比数列的通项公式可得，奇数可得所求值． （2）讨论为偶数和奇数，运用数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，以及不等式的解法可得最小正整数． 【详解】 解：（1）正项数列满足，且是公比为3的等比数列， 可得，则， ，可得， 当时，又， 相除可得，即数列的奇数项、偶数项均为公比为3的等比数列， 可得. （2）当为偶数时， ， 由，解得， 当为奇数，， 由，解得， 综上可得. 5．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且. （1）求，； （2）设，求数列的前8项和. 【答案】 （1）， （2） 【分析】 （1）根据题意，将原式化简得，当时，求得，当时，由和的关系得出，由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列，最后根据等差数列的通项公式和前项和公式求出，； （2）根据题意，化简得，从而得出，代入计算即可得出结果. （1） 解：由原式可得：， 当时，； 当时，， 两式作差可得：， 所以， 又因为，则，所以， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴，， ∴，； （2） 解：， 即， 所以 ， 即数列的前8项和. 6．已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，满足是与的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】 （1）； （2） 【分析】 （1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意分别求出公差与公比，从而可得出答案； （2）分n为偶数和奇数两种情况讨论，利用分组求和法和并项求和法即可得出答案. （1） 解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 因为，所以，解得， 所以， 由题意知：，