专题02 数列之结构不良型-【题型专项突破系列之数列】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

数列之结构不良题型 一、解答题(共40题) 1．已知数列中，，______，其中． （1）求数列的通项公式； （2）设，求证：数列是等比数列； （3）求数列的前项和． 从①前项和，②，③且，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答． 【答案】选择条件见解析（1），；（2）证明见解析；（3）. 【分析】 （1）选①：根据与的关系即可得出答案； 选②：根据可得数列是以2为首项2为公差的等差数列，从而可得答案； 选③：根据，可得数列为等差数列，设公差为，求出公差，从而可得答案； （2）求出数列的通项公式，根据等比数列即可得出结论； （3）利用分组求和及等比数列和等差数列的求和公式即可得出答案. 【详解】 解：（1）选①：因为，， 当时，， 当时，等式也成立 所以，； 选②：由，， 所以数列是以2为首项2为公差的等差数列， 所以，； 选③：由，且， 可得数列为等差数列，设公差为， 则， 所以，； （2）证明：， 可得， 所以数列是首项和公比均为4的等比数列； （3）， . 2．在①；②，，成等比数列；③，这三个条件中任选两个，补充下面问题中，并解答本题． 已知等差数列的公差，其前项和为，且满足______，______． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】选择条件见解析（1）；（2）. 【分析】 由①可得，由②可得，由③可得， （1）选①②：建立方程组，求出首项和公差，即可得出答案； 选①③：，求出首项和公差，即可得出答案； 选②③：建立方程组，求出首项和公差，即可得出答案； （2）利用错位相减法即可得出答案. 【详解】 解：由于①；故：，整理得； ②，，成等比数列，整理得，故， ③，整理得， （1）选①②：建立方程组，解得，． 故； 选①③：建立方程组，解得，． 故； 选②③：建立方程组，解得，． 故； （2）由（1）得：数列满足， 所以， 所以①， ②， ①②得：， ， 整理得：． 3．已知等差数列的前项和为，且，___________. 请在①；②这两个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】条件选择见解析；（1）；（2）. 【分析】 （1）设等差数列的公差为，由得到，选①：由，得到，联立求解；选②：由得到，即联立求解； （2）由（1）得到，利用裂项相消法求解. 【详解】 （1）设等差数列的公差为，由，可得， 即， 选①：由，可得， 解得， 所以数列的通项公式为. 选②：由，可得，即， 所以， 解得， 所以. （2）由（1）可得， 所以， . 4．在①，，成等差数列，且；②，且；③（为常数）从这三个条件中任选一个补充在横线处，并给出解答. 问题：已知数列的前项和为，，___________，其中. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）选①、②、③答案都为；（2）. 【分析】 （1）若选①：由等差数列的定义列方程再整理可得，由已知条件求出的值，可得是等比数列，即得的通项公式；若选②：将已知递推关系式因式分解可得是等比数列，即得的通项公式；若选③：时，，与两式相减可得是等比数列，进而可得的通项公式； （2）求出的通项以及的通项，由乘公比错位相减即可求. 【详解】 （1）若选条件①：因为，，成等差数列， 所以，即， 所以， 又，， 所以，即， 所以，即，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以； 若选条件②：由，得， 即， 所以， 因为，所以，即，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以； 若选条件③：因为， 所以时，， 两式相减并整理，得，即，又； 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知：， 所以， 所以， 所以， 所以， 两式相减，得 ， 所以. 5．在①，②，③，，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.设数列是公比大于0的等比数列，其前项和为.已知，___________. （1）求数列的通项公式； （2）设，，且数列的前项和为，求. 【答案】条件选择见解析；（1）；（2）. 【分析】 （1）若选择①②，可设公比为，根据已知条件得到关于的方程，求出后可求通项.若选择③，利用可得，从而可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故可得所求的通项. （2）利用分组求和和裂项相消法可求. 【详解】 （1）若选①，设等比数列的公比为. ，，而 ，解得或. ，，. 若选②，设等比数列的公比为，且， 由可得. ，，即. ，，. 若选③，当时，， 即，也满足， 即数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则. （2）由（1）知， . 6．已知为等差数列的前项和，从下面①②③中任意选择两个作为条件，证明另外个成立. ①；②；③数列的前项和为. 注：若选择不