易错点12 立体几何中的平行与垂直-备战2022年高考数学考试易错题（全国通用）

易错点12 立体几何中的垂直与平行 在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。 立体几何中平行与垂直的易错点 易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。 易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视 三个条件中的某一个。 易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大； 题组一：基本性质定理 1．（2021年浙江卷）已知正方形，分别是的中点，则（ ）. A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线平行，直线平面 【答案】A 【解析】如图，连结，平面，， 平面， 2．（2021新高考1卷多选题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则 A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【解析】由点满足，可知点在正方形内． A选项，当时，可知点在线段（包括端点）上运动． 中，，，，因此周长不为定值，所以选项A错误； B选项，当时，可知点在线段（包括端点）上运动． 由图可知，线段//平面，即点到平面的距离处处相等，的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，所以选项B正确； C选项，当时，分别取线段，中点为， ，可知点在线段（包括端点）上运动．很显然若点与或重合时，均满足题意，所以选项C错误． D选项，当时，分别取线段，中点为，，可知点在线段（包括端点）上运动．此时，有且只有点与点重合时，满足题意. 所以选项D正确． 因此，答案为BD. 3.（2019全国Ⅲ理8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ ） A．BM=EN，且直线BM、EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线 C．BM=EN，且直线BM、EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线 【答案】B 【解析】 如图所示，联结，.因为点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，所以平面，平面，因为是中边上的中线，是中边上的中线，直线，是相交直线，设，则，， 所以，， 所以．故选B． 4.（2019全国Ⅱ理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 【解析】 对于A，内有无数条直线与平行，则与相交或，排除； 对于B，内有两条相交直线与平行，则； 对于C，，平行于同一条直线，则与相交或，排除； 对于D，，垂直于同一平面，则与相交或，排除． 故选B． 题组二：线面平行 5. （2021天津卷）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （1）求证：平面； 【解析】（1）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则,,,,,,， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，， 所以,,, 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面； 6．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面三角形，，，是的中点． (1) 证明：直线∥平面； 【解析】（1）取的中点，连结，．因为是的中点，所以，．由得，又，所以，四边形是平行四边形，，又平面，平面，故∥平面． 7.（2019全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE； 【解析】 （1）连结B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=B1C． 又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D．由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． 题组三线线垂直 8.（2021全国甲卷理）已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点，． （1）证明：；