15、微专题：反正弦反余弦反正切的表示与应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：反正弦反余弦反正切的表示与应用 【沪教版2020】必修第二册在《6.3.2 解三角形》中，为了表示例８中的角C，我们引入如下记号： 一般的，我们用表示满足的角； 用表示满足的角； 用表示满足的角； 【说明】符号、、在计算器上一般分别用、、表示； 所以，【沪教版2020】引入反正弦、反余弦、反正切是为日后解三角形与表示平面几何、平面向量、解析几何、立体几何中涉及的非特殊角的需要；因此，为了便于学生“反三角函数”并熟练、灵活使用，在此，不妨例析表示与应用； 【典例】 例1、解方程：。 【提示】 【解析】解法1、解法2、 【说明】 例2、如图，一智能扫地机器人在处发现位于它正西方向的处和北偏东方向上的处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到的距离比到的距离少米，于是选择沿路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为米/秒，秒钟完成了清扫任务（忽略机器人吸入垃圾及在处旋转所用时间） （1）、两处垃圾的距离是多少？ （2）求智能扫地机器人此次清扫过程中旋转角的最小值？请指出旋转方向. 【说明】本小题主要考查余弦定理解三角形，反余弦为表示实际问题中的非特殊角提供了方便； 例3、已知直线的方程为，其倾斜角为； （1）写出关于的函数解析式； （2）若，求：的取值范围. 【背景】在平面解析几何中 1、直线的倾斜角： (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)； 2、直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是的直线没有斜率； (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝； 【说明】通过本题求解说明，在利用“解析几何”知识求得“倾斜角的正切”后，主要是：利用反正切表示角，结合倾斜角的范围与诱导公式求倾斜角； 例4、在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2；若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6， 求：与夹角的大小。 【背景】在平面向量中 1．两向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝，＝， 则∠AOB＝θ(0≤θ