14、微专题：余弦定理及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：余弦定理及其应用 余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 ；，； 余弦定理的变形： ；；； 【典例】 题型1、已知两边及夹角解三角形． 例1、在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，解此三角形。 【提示】； 【解析】方法1、 方法2、 【说明】通过本题说明：已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理（已知两边和一边的对角）求解；若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题（在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的），故用余弦定理求解较好； 题型2、已知两边及一边对角解三角形． 例2、在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求A、C和a。 【提示】； 【解析】方法1、； 方法2、； 【说明】通过本题说明：已知两边及其中一边的对角解三角形：可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边（注意边的取舍），再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角（注意角的取舍），再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边； 题型3、已知三边解三角形 例3、在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C. 题型4、判断三角形形状 例4、（1）在△ABC中，若(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，判断△ABC的形状； （2）在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，判断△ABC的形状； （3）在△ABC中，若g sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，判断△ABC的形状； 【归纳】 1、记牢【1】个定理 文字语言 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝c2＋a2－2cacos B c2＝a2＋b2－2abcos C 2、掌握【2】种结论 （1）在△ABC中，cos A＝，cos B＝，cos C＝； （2）设c是△ABC中最大的边（或C是△ABC中最大的角），则 a2＋b2<c2⇔△ABC是钝角三角形，且角C为钝角； a2＋b2＝c2⇔△ABC是直角三角形，且角C为直角； a2＋b2>c2⇔△ABC是