13、微专题：正弦定理及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：正弦定理及其应用 设中分别是角所对的边，为的外接圆半径； 正弦定理：； 【理解】 1、正弦定理的特点 （1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立； （2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式； （3）刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系 的互化； 2、正弦定理及其推论 设△ABC的外接圆半径为R，则 （1）＝＝＝2R；（2）a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； （3）sin A＝，sin B＝，sin C＝；（4）在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B. 3、三角形面积公式 （1）S＝aha＝bhb＝chc；（2）S＝absin C ＝bcsin A＝casin B. 【典例】 题型1、已知三角形两角及一边解三角形 例1、在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，解这个三角形。 【提示】； 【解析】 【说明】已知任意两角和一边，解三角形的步骤： （1）求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； （2）求边：根据正弦定理，求另外的两边； 已知内角不是特殊角时，往往先拆角求出其正弦值，再根据以上步骤求解； 题型2、已知三角形两边及一边的对角解三角形 例2、在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形； 【提示】； 【解析】 【说明】利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径： （1）化角为边，将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状， 利用的公式为sin A＝，sin B＝，sin C＝； （2）化边为角，将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状，利用的公式为a＝2Rsin A，b＝2Rsin B；c＝2RsinC； 题型3、判断三角形形状的判断 例3、在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状。 【提示】； 【答案】； 【解析】方法1、 方法2： 【说明】通过本题说明：已知边、角条件，判断三角形形状，一般有两种方法：1、全部化为边，强调一边为零，一边因式分解；2、全部化成三角比，然后进行三角变换； 【归纳】 1、记牢【1】个定理 正弦定理：＝＝＝