12、微专题：积化和差与和差化积公式及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：积化和差与和差化积公式及其应用 1、积化和差公式 ；； ； ； 2、和差化积公式 ；； ；. 【典例】 题型1、利用积化和差与和差化积公式给角求值 例1、（1）求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80° 【提示】； 【答案】； 【解析】 （2）求sin220°＋cos250°＋sin 20°·cos 50°的值； 并根据角之间的联系，推广为三角恒等式“sin2α＋cos2（30°+α）＋sinα·cos（30°+α）=？”，试加以证明； 【提示】 【答案】； 【解析】； 推广得： sin2α＋cos2（30°+α）＋sinα·cos（30°+α）=（试：参考以上求解加以证明）； 【说明】通过本题说明：给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角比相约或相消，从而化为特殊角的三角比进行计算； 题型2、利用积化和差与和差化积公式给值求值 例2、已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值； 题型3、与解决三角形问题的交汇 例3、（1）在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sinsincos； （2）在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cos ·cos cos ； 题型4、利用积化和差与和差化积公式进行探究 例4、在中，，且，能否利用求出和的大小?若能，请求出;若不能，请说明理由. 【归纳】 1、积化和差公式 ；； ； ； 2、积化和差公式的推导 由， ，得 ， ① . ② 由. ，得 ， ③ . ④ 上面的①②③④四个式子统称为积化和差公式. 3、积化和差公式的特点 （1）同名函数之积化为两角和与差的余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差的正弦的和(差)的一半； （2）等式左边为单角α、β，等式右边是它们的和(差)角； （3）如果左端两函数中有余弦函数，那么右端系数为正，无余弦函数，系数为负； 4、和差化积公式 ； ； ； . 5、和差化积公式的推导 在积化和差公式中，设，则有，，把代入①②③④，就得到 ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ . ⑧ 上面的⑤⑥⑦⑧四个式子统称为和差化积公式. 注意公式推导过程中换元思想与方程思想的应用. 6、和差化积公式的特点 （1）余弦函数的和或差化为同名函数之积；（2）正弦函数的和或差化为异名函数之积； （3）