10、微专题：二倍角公式及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：二倍角公式及其应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式 三角比 公式 简记 正弦 余弦 正切 二倍角公式变形 （1）升降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；sin αcosα＝sin 2α. （2）配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2； 【典例】 题型1、给角求值 例1、求值：cos 20°cos 40°cos 80° 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】 题型2、给值求值 例2、（1）已知sin＝，则sin 2x的值等于_______ 【提示】； 【答案】； 【解析】方法1、方法2、 例2、（2）若sin θ＋3cos θ＝0，则cos2θ＋sin 2θ＝(　　) A．2　 B．－2 C. D．－ 【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】 题型3、化简与证明 例3、（1）化简：； （2）求证：＝tan4A. 　　 题型4、二倍角公式推导思路的拓展┄┄三倍角公式 例4、（1）试用 表示；（2）试用 表示；（2）试用 表示； 【归纳】 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式 三角比 公式 简记 正弦 sin 2α＝2sin_α_cos_α S2α 余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α 正切 tan 2α＝ T2α 【理解】 （1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想； （2）对于S2α和C2α，α∈R，但是在使用T2α时，要保证分母1－tan2α≠0且tan α有意义，即α≠＋kπ且α≠－＋kπ且α≠＋kπ(k∈Z)．当α＝＋kπ及α＝－＋kπ(k∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝＋kπ(k∈Z)时，tan α的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求出tan 2α＝tan(π＋2kπ)＝0. （3）二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种． （4）一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos