9、微专题：例析辅助角公式的推导、理解及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：例析辅助角公式的推导、理解及其应用 在现行的高中数学教材与高考试题中，大凡涉及“三角变换”、“研究三角函数性质”的试题，往往会化归为“将化为的形式”问题，这就是与传统的“辅助角公式”相关；本文，欲结合教材与高考试题，就“辅助角公式”与教材的相关、公式的推导与理解以及公式的应用，举例加以说明。 一、“辅助角公式”与教材的相关 在现行的高中数学教材中，“辅助角公式”通常是以：掌握与理解两角和、差的正弦、余弦公式并进行三角变换的“例题”形式出现；有些教材边上会注解：可以作为公式使用； 现行上海高级中学教材 高一第二学期课本（试用本），第69页，则以“例题”形式出现： 例14 把下列各式化为的形式： （1）略；（2）略；（3）（、都不为） 二、“辅助角公式”的推导与理解 提及“辅助角公式”的推导，其本质是：以两角和、差的正弦、余弦公式为目标，结合了三角比的定义、有界性与同角三角比中的平方关系，整合了“已知三角比求角”。现咱们不妨来体验一下： 方法1、 【分析】 【解析】 【说明】 方法2、 【分析】 【解析】 【说明】 综上，“辅助角公式”就是将代数式“”变换为“一个角的一个三角比”，即： （1）；（2）； 其中，辅助角的确定，结合以上推导，应关注推导过程中“目标”的参照这一“细节”；然后，整合“已知角的正弦、余弦三角比，求角”的问题，解之；当然，为了应试与借助以后的“反三角函数”，亦可等价解之；如：条件“”等价为“由、的正负确定角终边上点的象限，由确定角的具体值”；同理，请同学们自己体验条件“”的等价。 三、“辅助角公式”的应用 经历了以上对于“辅助角公式”的推导与理解，我们不难发现，在求含三角比的代数式的取值范围、最值；研究与探究实三角函数的定义域、值域、最值、周期性、单调性与图像的对称性时；“辅助角公式”往往会整合同角三角比关系式、三角比的和、差、倍角、半角公式等，先进行三角变换，为进一步研究做好准备；也可以这样说，学生在应试三角题时，出现“错误”或“失误”，就是“辅助角公式”没化好。现不妨举例，“辅助角公式”在数学高考中的应用。 题型1 “辅助角公式”与研究三角函数的性质 先利用“辅助角公式”进行三角变换，目标：化为“一个角的一个三角比”，然后，借助三个“最简单”的三角函数性质解之。 例1、若函数的最大值为5，则常数