8、微专题：对教材例题“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的理解与拓展-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：对教材例题“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的理解与拓展 而数学教材是教学的重要资源，数学教材中的每一个例习题都是经过“千锤百炼”的，有很高的教育价值。从近年来的数学高考试题看，多数题目可在现行课本中找到原型，或是课本例习题的变式题，或是源于课本并适度拓展的引伸题。 本文，欲以数学教材中的例（习）题为例，通过理解性的证明，依据推导方法与过程进行拓展；然后，寻找、挖掘与其它知识的交汇点，不断深化。 一、对“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的理解 例1、若△不是直角三角形，求证：； 提示：本题的证明视角1：可以考虑“化切为弦”；视角2：结合题设△内角关系与待证式的结构与两角和差的正切公式进行比较； 证明：方法1： 方法2： 【说明】本题（沪教版高中数学必修第二册，第30页 例8；苏教版高中数学必修4，第116页 例4；人教B版上的习题）；主要依据题设中“角之间的等量关系”，结合两角和差公式进行推导论证；但是，结论非常具有特色“三数和”等于“三数积”；所以，本题是“课本例习题”拓展、深化的极佳素材。 二、对“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的拓展 借鉴以上的方法2：由， 由此，得命题（*）：当、、都不等于时， 等式成立的充要条件是：； 教材是面向全体高中生又受到教学课时数与教材结构体系的限制，例习题往往是特殊情况或典型示例；稍加推广、拓展或依据充要条件“交换：条件与结论”；往往就成了“源于教材，又高于教材”的“鲜活”与综合的高考试题。 三、对“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的深化 现不妨以此命题（*）为基础，通过例析与三角、函数、向量等知识的交汇与整合的试题，体验该命题的深化与相关试题的解题策略。 例2、在锐角△中，求证：。 【说明】本题主要考查模仿例1，在“保证：正切三角比有意义的前提下”，利用三角形内角和的“等量关系”与“两角和差正切公式”推导得到；同法，还可以可得出以下结论： （1）； （2）； 例3、在△中，若，试判断△的形状； 例4、在锐角三角形中，若，则的最小值是 【说明】本题（2016年江苏卷数学高考试题 第14题）说明消元与降次是高中数学三角变换中的主旋律， 利用三角形中隐含的边角关系