7、微专题：两角和与差的正弦、余弦、正切公式-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：两角和与差的正弦、余弦、正切公式 起点是：两角差的余弦公式 （1）公式内容：对于任意角，，有；简记为：； （2）公式推导：①利用三角函数线推导+ ②利用向量法推导（学了平面向量后）； 然后：两角和的余弦公式 （1）公式内容：对于任意角，，有；简记为：； （2）公式推导：在公式中，将用来替换，结合诱导公式即可； 再是：两角和与差的正弦公式 （1）公式内容：对于任意角，，有；简记为：； （2）公式推导：运用差角的余弦公式及诱导公式，可得 展开即可； 展开即可； 化切为弦：两角和与差的正切公式 （1）公式内容：，简记为：； （2）公式推导：当时，将公式，的两边分别相除， 有， 若，将上式的分子、分母分别除以， 得，这就是两角和的正切公式，简记作； 在中，将将用来替换，可得， 即，这就是两角差的正切公式，简记作； 【说明】特殊情况：当或或的值不存在时，不能使用处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法； 例如，化简，因为的值不存在，不能利用公式，所以改用诱导公式来解； 【典例】 题型1、三角比的化简 例1、化简：（1）＝________. （2）＝________ 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】三角函数式的化简 （1）三角函数式的化简原则： ①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的转化，再使用公式； ②二看“函数名”，看函数名之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； ③三看式子“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等； （2）三角函数式的化简要求： ①使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少； ②式子中的分母尽量不含三角函数； ③尽量使被开方数不含三角函数等； （3）三角函数式的化简方法： ①异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化； ②“1”的代换，三角公式的正用、逆用； 题型2、三角比的求值（给角求值、给值求值、给值求角） 例2、（1）计算：； 【提示】 【答案】； 【解析】 【说明】 （2）已知，则＝（ ） A． B． C． D． 【提示】 【答案】 【解析】方法1、方法2、 【说明】本题属于给值求值； （3）已知，则（ ） A． B． C． D． 题型3、