5、微专题：三角函数线的妙用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：三角函数线的妙用 一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足的点组成的集合称为单位圆； 三角函数线可以看作是三角比的几何表示： 正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)；如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线； 如果，能在理解与掌握三角函数线的作法基础上，充分发挥三角函数线是三角比的几何意义与直观表示，这不仅能数形结合地理解任意角的三角比，同时，在直观、简单地比较任意角的三角比大小，已知三角比求角，证明含多种三角比的等式与不等式，推导诱导公式，作三角函数图像与研究三角函数性质等方面都有重要的妙用。 【典例】 妙用1、利用三角函数线求三角比的值 例1、作出和的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切值。 【提示】 【解析】 【说明】 妙用2、利用三角函数线解不等式 例2、不等式组的解集为______________________ 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 妙用3、利用三角函数线证明三角不等式 例3、利用三角函数线证明。 妙用4、利用三角函数线确定三角函数值的范围 例4、（1）若，确定的范围； （2）若或，确定的范围； 妙用5、三角函数与其他知识的交汇 例5、若α、β是关于x的二次方程x2＋2(cosθ＋1)x＋cos2θ＝0的两根，且(α－β)2≤8；求：θ的范围。 【归纳】 新教材借助单位圆，得交点坐标为P（cos α ，sin α），结合坐标的几何意义，很容易得到余弦、正弦三角比的几何意义，也就是三角函数线；三角函数线的应用相对老教材而言，重点体现在三角函数概念的理解，诱导公式的推导，以及正余弦函数的图像的得到以及三角函数的性质等；体现这个知识点的基础性和解决问题的本质的根源所在； 1、正弦线与余弦线 （1）一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆； （2）过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M， 当的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cos α＝， 当的方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cos α＝－， 称为角α的余弦线； 类似地，可以直观的表示sin α，称为角α的正弦线， 【说明】利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看成角地正弦和余弦地信息，例如上图中，角的余弦线是