3、微专题：同角三角比之间关系及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：同角三角比之间关系及其应用 1、任意角的正弦、余弦，正切、余切，正割、余割的定义 对于任意角来说，设是终边上异于原点的任意一点，， 称为角的正弦，记作；称为角的余弦，记作，因此，； 称为角的正切，记作；称为角的余切，记作，因此，； 称为角的正割，记作；称为角的余割，记作，因此，； 【注意】任意角的正弦、余弦，正切、余切，正割、余割统称为任意角的三角比；其中，正切、余切，正割、余割是有限制条件的； 2、同角三角比公式的推导 （1）由“，”导出，商数关系； ，； （2）由“，，”导出，倒数关系； ，，； （3）由“，，”导出，商数关系； ，，； 【注意】除平方关系“”外，其他等式成立都是有限制条件的； 3、同角三角比公式的变形 （1）对于平方关系的变形 ①，； ②，； ③ ； （2）对于商数关系的变形 ； （3）结合平方关系和上述关系，可以的恒等式 ； 4、“六边形”记忆方法 “六边形”的构造：上弦、中切、下割;左正、右余、中间1； “六边形”的特点： （1）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 （2）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数; （3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 【典例】 题型1、已知一个三角比求其余三角比 例1、已知，且是第三象限角，求， 【提示】 【答案】 【解析】方法1、方法2、 【说明】 题型2、同角三角比的求值、化简 （3）证明三角恒等式． 例2、化简： （1）；（2）；（3），其中是第二象限角； 【说明】本题主要考查了同角三角函数基本关系式求值、化简，还考查了运算求解的能力；同角三角比的求值、化简的一般要求是：（1）函数种类最少；（2）项数最少；（3）函数次数最低；（4）能求值的求出值；（5）尽量使分母不含三角函数；（6）尽量使分母不含根式； 题型3、有关同角三角比的恒等式证明 例3、证明下列恒等式 （1）；（2）； 【说明】本题考查了三角函数的证明，意在考查学生的推断能力；（1）利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式；方法有从左至右、从右至左或从两侧证明等于同一式，还可用比较法；（2）注意切化弦、弦化切及平方关系的应用； 题型4、同角与的关系的应用 例4、已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【说