易错点11 球-备战2022年高考数学考试易错题（全国通用）

易错点11 球 球是最常见的一种几何体,在近几年高考题中与球有关的问题频繁出现。在此类问题中,既可以考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算,又可以考查球与多面体的相切接,同时也能很好地考查同学们的画图能力、空间想象能力、推理论证能力。考查形式多以选择题和填空题出现。 易错点1：公式记忆错误 易错点2：多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误 易错点3：简单的组合体画不出适当的截面图致误 题组一：以三视图为背景 1．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是 (　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是，故选A． 2．(2015高考数学新课标1理科)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为，则= A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为 =，解得r=2，故选B． 题组二，以棱（圆）柱为载体 3.(2010)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________. 【答案】 【解析】根据题意可知三棱柱是棱长都是a的正三棱柱，设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，其外切球的半径为OA1,又设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中， 4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 (　　) A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】法一：如图，画出圆柱的轴截面 ，所以，那么圆柱的体积是，故选B． 法二：设圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高，而该圆柱的外接球的半径为 根据球与圆柱的对称性，可得即，故该圆柱的体积为，故选B． 题组三：以棱（圆）锥为载体 5．(2021年高考全国甲卷理科)已如A． B．C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析：，为等腰直角三角形，， 则外接圆的半径为，又球的半径为1， 设到平面的距离为， 则， 所以． 故选：A． 6.（2021天津卷）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即， 设球的半径为，则，可得，所以，， 所以，，， ，则，所以，， 又因为，所以，， 所以，，， 因此，这两个圆锥的体积之和为. 故选：B. 7.（2020年全国1卷）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形， 由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面， ，球的表面积. 故选：A 【叮嘱】球的有关性质 性质1. 球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆. 性质2. 球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心. 性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r 的关系为:R2=d2+r2. 性质4. 球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心. 性质5. 球的直径等于球的内接长方体的对角线长. 性质6. 若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点. 8．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知△ABC是面积为等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为 (　　) A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】 设球的半径为，则，解得：． 设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形， ，解得：，， 球心到平面的距离． 故选：C． 9．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】 【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中，且点M为BC边上的中点， 设内切圆的圆心为， 由于，故， 设内切圆半径为，则： ， 解得：，其体积：． 故答案为：． 题组四：与最值相关 10．(2015高考数学新课标2理科)已知是球的球面