第02讲 诱导公式（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学下学期考试满分全攻略（沪教版2020必修第二册）

第02讲 诱导公式(核心考点讲与练) 诱导公式 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 第六组： 诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 【析】①以上诱导公式都是当取使等式两边都有意义的任意值； ②以上诱导公式的正负号的确定；将看成锐角时，等号左边的角的三角比的正负，决定了等号的正负号； ③利用以上五组诱导公式可将任意角的三角比转化成锐角或零角的三角比，转化的一般途径是：负角正角内的角锐角或零角，以上的转化途径不唯一。 考点一： 利用诱导公式化简求值 【例1】.求下列各三角比的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【难度】★ 【答案】（1）（2）（3）（4）（5） 【例2】（2021·上海高一课时练习）★☆☆☆☆ 求值： （1）___________；（2）___________； （3）___________；（4）___________． 【答案】； ； ； 【详解】 ； ； ； . 故答案为：，，，. 【例3】（2021·上海高一课时练习）★☆☆☆☆ 化简：___________. 【答案】1 【详解】 原式. 【例4】（2021·上海徐汇高一期末）★☆☆☆☆ 已知，则的值为________． 【答案】 【详解】 ， 故答案为：. 【例5】.已知，求的值． 【难度】★★ 【答案】 令，则. 原式 【例6】已知为的内角，求证：，， ． 【难度】★★ 【答案】在中，∵，∴. ∴， ， . 【例7】化简． 【难度】★★ 解：①当时，原式． ②当时，原式． 点评：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论． 【例8】.已知：　　　　　． 【难度】★★ 【答案】提示；由是第四象限角，所以　 【例9】化简：． 【难度】★★ 【答案】见解析 分析：如果用和差角的三角函数进行化简，显然很繁杂，若是观察到，，则可以直接应用诱导公式求解． 解：原式= =1－2－=－1－=－． 点评：在解答化简问题时，要注意次数尽量可能低；项数尽可能少，函数种类尽量减少；尽量不含分式和根式，能求出值的尽量求出值。除之之外，善于发现差异，寻找联系，能进行合理的转化，也是非常重要的．如本题充分利用了角之间的联系，即互余关系，然后借助诱导公式和平方关系轻松求解． 【例10】（2021·上海高一课时练习）★★☆☆☆ 计算：____________. 【答案】-1 【详解】 解：，， 故答案为：． 【巩固训练】 1.（2021·上海市建青实验学校高一期中）★☆☆☆☆ 化简：_________ 【答案】 【详解】 ， 故答案为： 2.（2021·上海徐汇·位育中学高一期中）★☆☆☆☆ 若，则＝________． 【答案】 【详解】 解：， ， 故答案为：． 3．化简： （1）； （2）． 【难度】★ 【答案】见解析 解：（1）原式． （2）原式 ． 4．已知，求，的值． 【难度】★ 【答案】由，得，是第二，三象限角． 若是第二象限角，则，； 若是第三象限角，则，． 5．化简． 【难度】★ 【答案】见解析 解：原式 ． 6.（新课程优选）★★☆☆☆ 判断表达式的正负. 【答案】正. 【详解】 解： ， 因此，是正值. 7．（2021·上海市建平中学高一期末）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先由诱导公式，将所求式子化简，再计算即可； （2）根据同角三角函数基本关系，构造齐次式，由弦化切，即可得出结果. 【详解】 （1）， 所以； （2）因为，所以. 8．（2021·上海市行知中学高一期末）已知角是第三象限角，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据tanα，以及 sin2α+cos2α＝1，结合范围求得sinα、cosα的值； （2）利用诱导公式与同角的三角函数关系，把正弦、余弦的比值化为正切tanα，代入正切值即求得结果． 【详解】解：（1）tanα，sin2α+cos2α＝1， ∴或，而角是第三象限角，则， 故； （2） . ∵，∴原式. 【点睛】方法点睛：已知