易错点10 不等式-备战2022年高考数学考试易错题（全国通用）

易错点10 不等式 易错点1：线性规划 求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大. 易错点2：基本不等式 均值不等式（当仅当a=b时取等号）注意：①一正二定三相等； ②变形：（当仅当a=b时取等号） 易错点3：绝对值不等式 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤： ①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． (2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法． 易错点4：柯西不等式 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明． (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为 (a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件． 题组1 线性规划 1．（2021浙江卷） 若实数 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，画出可行域，显然过点时，取到最小值，即， 故选B． 2．（2021年全国乙卷文）若，满足约束条件则的最小值为 A．18 B．10 C．6 D． 4 【答案】C 【解析】由约束条件可得可行域如图所示，当直线过点时，取最小值为6，故选C． 3．（2021上海卷）已知，，则的最大值为___________． 【答案】4 【解析】画出可行域易得最优解为 ，所以的最大值为 4.（2020•全国1卷）若x，y满足约束条件则z＝x＋7y的最大值为______ 【答案】1. 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数即：， 其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值， 联立直线方程：，可得点A的坐标为：， 据此可知目标函数的最大值为：.故答案为：1． 题组2 基本不等式 5．（2021年全国乙卷文）下列函数最小值为4的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知A的最小值为3，B的等号成立条件不成立，D无最小值． 6．（2020年新全国1山东）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD 7.（2020年天津卷）已知，且，则的最小值为_____． 【答案】4 【解析】，, ，当且仅当＝4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 8.（2020年江苏卷）已知，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】∵,∴且 ∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：. 题组3 含绝对值不等式 9.（2021年全国甲卷）已知函数，. （1） 画出和的图像. （2） 若，求的取值范围. 【答案】见解析 【解析】易知 则和的图像为 （1） 由（1）中的图可知，是左右平移个单位得到的结果，向右平移不合题意，向左平移至的右支过点曲线，上的点为临界状态，此时右支的解析式为，由点在可知，解得，若要满足题意，则要再向左平移，则,则的取值范围为 10.（2021年全国乙卷）已知函数. （1）当时，求不等式≥的解集； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）当时，≥≥， 当≤时，不等式≥，解得≤； 当时，不等式≥，解得； 当≥时，不等式≥，解得≥. 综上，原不等式的解集为. （2）若，即， 因为≥（当且仅当≤时，等号成立），所以，所以，即或，解得. 11．（2020全国Ⅰ文理22）已知函数． （1）画出的图像； （2）求不等式的解集． 【解析】（1）∵，作出图像，如图所示： （2）将函数的图像向左平移个单位，可得函数的图像，如图所示： 由，解得，∴不等式的解集为． 12．（2020江苏23）设，解不等式． 【答案】 【解析】或或， 或或，∴解集为． 题组4 格西不等式 13．（2021年浙江卷）已知平面向量，，满足，，，．记平面向量在，方向上的投影分别为，，在方向上的投影为，则的最小值是　 　． 【答案】 【解析】设， ， （当且仅当时，即时，取得等号）． 14．（2019全国I文理23）已知a，