易错点09 平面向量-备战2022年高考数学考试易错题（全国通用）

易错点09 平面向量 平面向量是高中数学的重要内容，是解决实际问题强有力的工具，是近年来高考的热点之一．对向量问题的考查，往往与不等式、解析几何、数列、平面几何等知识结合起来．本文通过对近十年全国新课标卷试题进行分析、汇总，希望同学们能够对平面向量的考向、考法、考试题型、难易程度有更加清晰的认识，避免走弯路，错路，以提高复习的效率． 易错点1：忽略零向量； 易错点2：利用向量的数量积计算时，要认真区别向量与实数a·b； 易错点3：利用向量的数量积计算时，判断向量夹角的大小时要牢记“起点相同”； (1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题． （2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 易错点4：向量数量积的几何意义中的叫做在方向上的正射影的数量，它是一个数量，它可正，可负，也可以为0，要注意区分. 易错点5：向量数量积>0并不等价于向量与的夹角为锐角； 易错点6：三点共线问题 1.若A、B、C三点共线，且,则 2.中确定方法 （1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定 （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解 （3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解 3.(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线． 【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点. 易错点7：向量与三角形的综合 (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 题组1：线性运算 1（2018年新课标1卷）在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=( ) A． - B． - C． + D． + 【答案】A 【解析】 故选A 2．(2015高考数学新课标1理科)设D为ABC所在平面内一点，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析：由题知=，故选A． 3.（2014新课标1）设分别为的三边的中点， 则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】,故选A 4.(2013新课标2理科)已知正方形的边长为,为的中点,则 ． 【答案】2 【解析】在正方形中，,, 所以 题组2：共线定理的应用 5．（2021新高考1卷）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则 A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【解析】由点满足，可知点在正方形内． A选项，当时，可知点在线段（包括端点）上运动． 中，，，，因此周长不为定值，所以选项A错误； B选项，当时，可知点在线段（包括端点）上运动． 由图可知，线段//平面，即点到平面的距离处处相等，的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，所以选项B正确； C选项，当时，分别取线段，中点为， ，可知点在线段（包括端点）上运动．很显然若点与或重合时，均满足题意，所以选项C错误． D选项，当时，分别取线段，中点为，，可知点在线段（包括端点）上运动．此时，有且只有点与点重合时，满足题意. 所以选项D正确． 因此，答案为BD. 6．（2020年江苏卷）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若（m为常数），则CD的长度是________． 【答案】0或. 【解析】∵三点共线，∴可设，∵， ∴，即， 若且，则三点共线，∴，即， ∵，∴，∵,,，∴， 设，，则，. ∴根据余弦定理可得，， ∵，∴，解得，∴的长度为. 当时， ，重合，此时的长度为， 当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或. 7．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，