6.3.1 三项式定理（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

(建议用时：40分钟) 一、选择题 1.5的展开式中x3的系数为(　　) A．10 B．20 C．40 D．80 答案　A 解析　Tr＋1＝Cx5－rr＝C2rx5－2r，由5－2r＝3，得r＝1，所以x3的系数为C×2＝10.故选A项． 2．二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　C 解析　由题意知C＝15，即C＝＝15，解得n＝6或－5(舍去)．故选C项． 3.8的展开式中常数项是(　　) A．－28 B．－7 C．7 D．28 答案　C 解析　通项Tk＋1＝C·8－k·k＝(－1)k·C·8－k·x8－k，当8－k＝0，即k＝6时，常数项为T7＝(－1)6·C·2＝7.故选C项． 4．在20的展开式中，系数是有理数的项共有(　　) A．4项 B．5项 C．6项 D．7项 答案　A 解析　Tk＋1＝C(x)20－kk＝k·()20－kCx20－k.因为系数是有理数，所以()k与2均为有理数，所以k能被2整除，且20－k能被3整除．故k为偶数，20－k是3的倍数，又0≤k≤20，所以k＝2,8,14,20.故选A项． 5．(＋)12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有(　　) A．4项 B．3项 C．2项 D．1项 答案　B 解析　(＋)12的展开式的通项为Tr＋1＝C·()12－r()r＝Cx6－(0≤r≤12)，由题意知6－为正整数，所以r＝0,6,12，共3项．故选B项． 二、填空题 6．二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________. 解析 因为T4＝Cx2y3，所以含x2y3的项的系数是C＝10. 答案 10 7．若9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________. 解析 展开式的通项为Tr＋1＝Cx9－r(－a)rr＝C·(－a)rx9－2r(0≤r≤9，r∈N)．当9－2r＝3时，解得r＝3，根据题意得C(－a)3＝－84，解得a＝1. 答案 1 8．若二项式(x＋2)n的展开式的第4项是，第3项的二项式系数是15，则x的值为________. 解析 由二项式(x＋2)n的展开式的第4项是23C·xn－3，第3项的二项式系数是C，可以得到C＝15,23Cxn－3＝，解得n＝6，x＝. 答案 三、解答题 9．已知二项式8. (1)求展开式的第3项； (2)求展开式中含项的系数． 解析 (1)因为8＝(x－2x－2)8， 所以第3项为T3＝Cx8－2(－2x－2)2＝4Cx2＝112x2. (2)Tr＋1＝Cx8－r(－2x－2)r＝(－1)r2rCx8－3r， 令8－3r＝－1，解得r＝3， 所以含项的系数为(－1)323C＝－448. 10．已知二项式10. (1)求展开式中含x4项的系数； (2)如果第3r项和第r＋2项的二项式系数相等，求r的值． 解析 (1)设第k＋1项为Tk＋1＝C(－2)kx10－k， 令10－k＝4，解得k＝4， 故展开式中含x4项的系数为C(－2)4＝3 360. (2)因为第3r项的二项式系数为C，第r＋2项的二项式系数为C， 所以C＝C，即3r－1＝r＋1或3r－1＋r＋1＝10， 解得r＝1或r＝2.5(不合题意，舍去)， 所以r＝1. 11．在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数为(　　) A．－15 B．85 C．－120 D．274 答案　A 解析　由题意得，含x4的项为－5x4－4x4－3x4－2x4－x4＝－15x4，所以原式的展开式中，含x4的项的系数为－15.故选A项． 12.5的展开式中常数项为(　　) A．－30 B．30 C．－25 D．25 答案　C 解析　5＝x25－3x5＋5，5的展开式的通项为Tr＋1＝C(－1)rr，易知当r＝4或r＝2时，原式有常数项，令r＝4，得T5＝C(－1)44，令r＝2，得T3＝C(－1)22，故所求的常数项为C－3×C＝5－30＝－25.故选C项． 13．已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求n； (2)求展开式中的有理项． 解析 (1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，由已知得2×C＝C＋C，解得n＝8(n＝1舍去)． (2)8的展开式的通项Tr＋1＝C()8－r·r＝2－rCx4－(r＝0,1，…，8)，要求有理项，则4－必为整数，即r＝0,4,8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝. 14．已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N*)． (1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项； (2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，若h(x