专题1.4 数列-结构不良型-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题1.4 数列-结构不良型 1．方法技巧：在求解等差数列基本量问题时，常用的思想方法有： ①方程思想，设出公差，然后利用通项公式或前项和公式将已知条件转化为方程(组)求解； ②整体思想，当所给条件只有一个时，可将已知和所求结果都用和公差表示，寻求两者的联系，整体代换即可求解； ③利用性质，运用等差数列的性质可以化繁为简，优化解题过程． 2．等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 3．数列求和的常用方法： ①对于等差等比数列，利用公式法直接求和； ②对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； ③对于型数列，利用分组求和法； ④对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法． 4．数列求和的方法技巧： ①倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． ②错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． ③分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 1．设等差数列的前n项和为，已知． （1）求的通项公式； （2）设数列的前n项和为，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列唯一确定，求． 条件①：；条件②：；条件③：． 【试题来源】北京首师大附中 2022 届高三年级12月月考 【答案】（1），（2）答案见解析． 【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据题意列出方程求得，进而求得数列的通项公式；（2）分别选条件①②③，结合和，利用和的关系式和等比数列的通项公式，即可求解． 【解析】（1）设等差数列的公差为d， 由，则，所以， 所以，所以， 所以，所以． （2）若选条件①： 由，即， 当时，，当时，， 由，但值未知，所以满足条件①的数列不唯一． 若选条件②： 由 ，当时，，得 ， 当时，由，有 ， 两式相减可得，即 ， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，则 所以选条件②使得数列唯一确定，且 若选条件③： 则 ，当时， 当时，，当时也满足． 所以选条件③使得数列唯一确定，且． 2．在①；②；③．从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答． 已知数列是等差数列其前项和为，若___________．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 【试题来源】广东省深圳市第七高级中学2022届高三上学期第四次月考（12月） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）若选择条件①：根据等差数列的前项和公式，结合等差数列通项公式进行求解即可；若选择条件②：利用递推公式，结合等差数列通项公式进行求解即可； 若选择条件③：利用递推公式，结合等差数列通项公式进行求解即可． （2）利用错位相减法进行求解即可． 【解析】（1）若选择条件①：设的公差为， ， ， ，， 若选择条件②： ，两式相减得， 又是等差数列，，， ，； 若选择条件③： 时，，当时， 又，两式相减得， 又， （2）因为 ① ①② ①-② 化简得． 3．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知Sn为等差数列的前n项和，若 ． （1）求an； （2）令，求数列的前n项和Tn． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【试题来源】备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破 【答案】（1）an=2n+1，（2） 【分析】（1）选①：利用等差数列通项公式相关计算求出首项和公差，进而求出通项公式；选②：利用等差数列求和公式进行相关计算，求出首项和公差，进而求出通项公式；选③：利用，求解通项公式．（2）裂项相消法求和． 【解析】（1）若选择条件（1），在等差数列中， ，，解得， ， 若选择条件（2），在等差数列中， ，解得， ； 若选择条件（3），在等差数列中，， 当时，，a1也符合， 所以an=2n+1； （2）由（1）得， 所以. 4．设等差数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式及前n项和； （2）若 ，求数列的前n项和． 在这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解． (注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 【试题来源】广东省潮州市2022届高三上学期期末 【答案】（1）；（2）若选，； 若选，． 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等差数列前n项和公式进行求解即可； （2）若选，利用错位相减法进行求解即可； 若选，利用裂项相消法进行求解即可． 【解析】（1）设等差数列的公差为，由，可得 ； （2）若选． 因为，所以， 因此， ，两个等式相减得 ，