专题3.4 数列的综合问题（结构不良型）-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题3.4 数列的综合问题（结构不良型） 1．等差（比）数列问题解决的基本方法： 基本量代换和灵活运用性质. 2．“结构不良问题” 此类试题是2020年高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分． 3．数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和． 4．常见的裂项公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【预测题1】在①，②是和的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 问题：已知公差d不为0的等差数列的前n项和为，． （1）______，求数列的通项公式； （2）若数列，，求数列的前n项和． 【答案】（1）答案见详解；（2） 【分析】（1）选①根据等差数列求和公式化简求出公差，即可求通项；选②根据等比中项公式化简求出公差，从而求出通项； （2）利用分组求和法即可求解结果． 【解析】（1）选①： 由于， 所以，又，所以，故 所以； 选②： 是和的等比中项，则， 所以，又，解得，（舍去） 所以； （2），，则 【预测题2】已知数列的各项均为互不相等的正数，且，记为数列的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立． ①数列是等比数列；②数列是等比数列；③ 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】答案见解析 【分析】若由①③②：根据等比数列的通项公式，结合等比数列前项和、等比数列的定义进行证明即可； 若①②③：根据等比数列的性质，结合等比数列的通项公式进行求解即可； 若②③①：根据等比数列前项和与通项公式的关系，结合等比数列的通项公式进行求解即可． 【解析】①③②． 已知数列是等比数列，． 设数列的公比为，又，所以，因为，所以， 根据题意可知，所以解得，所以，所以，且，因为， 所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列． ①②③． 已知数列是等比数列，数列是等比数列． 设数列的公比为，又，根据题意，所以，， 所以，，，， 因为数列是等比数列，所以，即， 化解得，即，根据题意且，所以得， 从而，，所以有． ②③① 已知数列是等比数列，． 因为为数列的前项和，且，所以， 设数列的公比为，根据题意有且，所以， 当时，， 因为，所以，又，所以有，又，所以， 所以得， 因为 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列． 【预测题3】给出以下条件：①成等比数列；②成等比数列；③．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知递增等差数列的前n项和为，且，______________． （1）求数列的通项公式； （2）若是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项的和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由已知条件可知，求等差数列的通项公式，就是求公差；列方程求解的过程中注意是递增数列，即即可； （2）等差乘等比的数列求和就是要用错位相减法． 【解析】（1）设递增等差数列的公差为， 若选条件①： 由， 有， 化简得． 解得或（舍去） 所以数列的通项公式为． 若选条件②： 由， 有， 化简得． 解得或（舍去） 所以数列的通项公式为． 若选择条件③： 由，有， 两式相减得， 因为，所以，故， 所以，即， 所以数列的通项公式为； （2）由是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 由（1）知，所以， 所以， 两边同乘以2得， 以上两式相减得， 即， 所以， 故答案为2n，． 【预测题4】已知数列的前项和为，在①＝－，②＝这两个条件中任选一个，并作答． （1）求数列{}的通项公式； （2）设＝，求数列{}的前项和． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）若选①，则先求出，再当时，由＝－，得，两式相减化简可得数列是以2为公比，3为首项的等比数列，从而可求出，若选②，则先求出，再由＝可得，两式相减可求出通项， （2）由（1）可得，从而可得，然后利用错位相减法求 【解析】（1）若选①： 则当时，，得， 当时，由＝－，得， 所以，得， 所以数列是以2为公比，3为首项的等比数列， 所以 若选②： 则当时，， 当时，由＝可得， 两式相减，即， 满足上式，所以 （2）由（1）得， 所以， 所以， 所以， 所以 所以 【预测题5】已知数列的前n项和为，在①②，，③这三个条件中任选一个，解答下列问题： （1）求的通项公式： （2）若，求数列的前n项和 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）若选①，由已知得，