课时分层作业7 幂函数-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(七)　幂函数 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．下列函数是幂函数的是(　　) A．y＝5x　　　　　　　 B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 B　[函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．] 2．已知点在幂函数f(x)的图像上，则f(x)是(　　) A．奇函数　　　　　　　　 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 A　[设幂函数为f(x)＝xα，因为其图像过点，所以α＝，解得α＝－1，故f(x)＝x－1，又f(－x)＝(－x)－1＝－f(x)且f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数 ，因此A正确，B，C，D错误．] 3．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是(　　) A．y＝x B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝x－2 B　[∵A，C项在(－∞，0)上为增函数；D项中y＝x－2＝在(－∞，0)上也是增函数，故选B.] 4．如图所示，给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是(　　) A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1 D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1 B　[因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．] 5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a B　[由于函数y＝x在它的定义域R上是减函数，∴a＝>b＝>0.由于函数y＝x在它的定义域R上是增函数，且>，故有c＝>a＝，故a，b，c的大小关系是b＜a＜c，故选B.] 二、填空题 6．已知幂函数f(x)＝xα的图像过点，则函数g(x)＝(x－1)f(x)在区间上的最小值是________． －1　[由幂函数f(x)＝xα的图像过点， 可得2α＝，解得α＝－1，即有f(x)＝， 函数g(x)＝(x－1)f(x)＝＝1－在区间上单调递增， 则g(x)的最小值为g＝1－2＝－1.] 7．0.16、0.25、6.25从小到大依次是________． 8．若幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图像与坐标轴无公共点，且关于原点对称，则实数m的取值集合为________． {0,2}　[幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图像与坐标轴无公共点，且关于原点对称，可得m2－2m－3＜0(m∈Z)，并且m2－2m－3为奇数，解得m＝0，或m＝2.则实数m的取值集合为{0,2}．] 三、解答题 9．已知幂函数f(x)＝(－2m2＋m＋2)·xm＋1为偶函数． (1)求f(x)的解析式； (2)若a≤2，判断y＝f(x)－2ax＋1在区间(2,3)上的单调性并用定义加以证明． [解]　(1)由f(x)为幂函数知－2m2＋m＋2＝1，得m＝1或m＝－. 当m＝1时，f(x)＝x2，符合题意； 当m＝－时，f(x)＝x，不为偶函数，舍去． 所以f(x)＝x2. (2)由(1)得y＝x2－2ax＋1，对称轴为x＝a≤2， 所以y在区间(2,3)上单调递增． 设x1，x2∈(2,3)，且x1<x2，则有x1－x2<0， 所以y1－y2＝x－x＋2a(x2－x1)＝(x1－x2)(x1＋x2－2a)＝(x1－x2)(x1－a＋x2－a)， 因为x1－x2<0，a≤2，x1－a>0，x2－a>0， 所以y1－y2<0，所以y＝f(x)－2ax＋1在区间(2,3)上单调递增． 10．已知幂函数y＝f(x)经过点. (1)试求函数解析式； (2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间． [解]　(1)设幂函数为f(x)＝xα(α为常数)，由题意，得f(2)＝2α＝，即α＝－3，故函数解析式为f(x)＝x－3. (2)∵f(x)＝x－3＝，∴要使函数有意义，则x≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， ∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)， ∴该幂函数为奇函数． 当x＞0时，根据幂函数的性质可知f(x)＝x－3在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f(x)是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． 11．(多选题)已知幂函数f(x)的图像经过点，则幂函数f(x)具有的性质是(　　) A．在其定义域上为增函数 B．在(0，＋∞)上为减函数 C．奇函数 D．定义域为R BC　[设幂函数f(x)＝xα(α为常数)， 因为幂函数图像过点， 所以f(x)＝x，所以由f(x)的性质知