课时分层作业6 指数函数与对数函数的关系-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(六)　 指数函数与对数函数的关系 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．函数y＝log3x的反函数是(　　) A．y＝ B．y＝3x C．y＝x D．y＝x3 B　[∵y＝log3x，∴3y＝x，∴函数y＝log3x的反函数是y＝3x，故选B.] 2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)＝(　　) A．log2x B． C． D．x2 B　[因为y＝ax的反函数为y＝logax，又此函数经过点(，a)，因此loga＝a，解得a＝，所以f(x)＝.] 3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数y＝f－1(x)的定义域为(　　) A．(1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) C　[y＝f－1(x)的定义域即为原函数的值域，∵3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0.] 4．函数y＝ex＋1的反函数是(　　) A．y＝1＋ln x (x>0) B．y＝1－ln x (x>0) C．y＝－1－ln x (x>0) D．y＝－1＋ln x (x>0) D　[由y＝ex＋1得x＋1＝ln y， 即x＝－1＋ln y，所以所求反函数为y＝－1＋ln x (x>0)．故选D.] 5．设a＝x，b＝x－1，c＝logx，若x>1，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c C　[∵x>1， ∴a＝x<1＝，b＝x－1>0＝1， ∴0<a<b，而y＝logx是减函数，∴logx<log1＝0. ∴c<a<b.故选C.] 二、填空题 6．(一题两空)已知函数y＝ax＋b的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，则a＝________，b＝________. 3　1　[由函数y＝ax＋b的图像过点(1,4)，得a＋b＝4；由反函数的图像过点(2,0)，得原函数图像必过点(0,2)，得a0＋b＝2，因此a＝3，b＝1.] 7．已知函数f(x)＝1＋logax，y＝f－1(x)是函数y＝f(x)的反函数，若y＝f－1(x)的图像过点(2,4)，则a的值为________． 4　[因为y＝f－1(x)的图像过点(2,4)，所以函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，又因为f(x)＝1＋logax， 所以2＝1＋loga4，即a＝4.] 8．函数f(x)＝x的反函数为g(x)，那么g(x)的图像一定过点________． (1,0)　[f(x)＝x的反函数为g(x)＝logx，所以g(x)的图像一定过点(1,0)．] 三、解答题 9．求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数． [解]　因为y＝2x＋1(x＜0)，所以0<2x<1，所以1<2x＋1<2. 所以1<y<2. 由2x＝y－1，得x＝log2(y－1)． 所以f－1(x)＝log2(x－1)(1<x<2)． 10．设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值． [解]　将方程整理得2x＝－x＋3， log2x＝－x＋3. 如图可知， a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标， b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标． 由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称， 于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)． 而A，B都在直线y＝－x＋3上， 所以b＝－a＋3(A点坐标代入)， 或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3. 11．(多选题)函数y＝1＋ax(a＞0且a≠1)的反函数的图像可能是(　　) AC　[先画出y＝1＋ax的图像，由反函数的图像与原函数的图像关于直线y＝x对称可画出反函数的图像．] 12．(多选题)函数y＝2|x|在下面的区间上，不存在反函数的是(　　) A．[－1,1] B．(－∞，0] C．[－2,4] D．[2,4] AC　[函数若在区间上单调，则存在反函数，易知函数y＝2|x|在[－1,1]，[－2,4]上不单调．因此在这两个区间上不存在反函数．] 13．(一题两空)若函数y＝f(x)的反函数是y＝－(－1≤x≤0)，则原函数的定义域是________，f(－1)＝________. [－，－1]　－1　[因为原函数的定义域为反函数的值域， 又－1≤x≤0，所以1≤2－x2≤2，即y∈[－，－1]． 令－＝－1，解得x＝±1， 因为反函数的定义域为[－1,0]，所以x＝－1.] 14．函数y＝的反函数是________． y＝　[当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1； 当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝ln x，x≥1. 故原函数的反