4.5 增长速度的比较-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

4.5　增长速度的比较 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解和体会函数模型在实际生活中的广泛应用．(一般) 2．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较．(重点) 3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难点) 1．通过三种不同增长的函数模型差异的学习，培养逻辑推理的核心素养． 2．借助函数模型的应用，提升数学建模的核心素养. 杰米是百万富翁，一天，他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中(这个月有31天)，每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍．”杰米说：“真的？你说话算数？” 合同开始生效了，杰米欣喜若狂．第一天杰米支出1分钱，收入10万元．第二天杰米支出2分钱，收入10万元，到了第10天，杰米共得100万元，而总共才付出10元2角3分．到了第20天，杰米共得200万元，而韦伯才得1万多元．杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可从21天起，情况发生了转变．第22天杰米支出2万多，收入10万，到第28天，杰米支出134万多，收入10万．结果，杰米在一个月(31)天内得到310万元的同时，共付给韦伯2千1百多万元！杰米破产了． 问题1：写出杰米每天收入y(单位：分)与天数x的函数关系式． [提示]　y＝107(x∈N*)． 问题2：写出杰米每天支出y(单位：分)与天数x的函数关系式． [提示]　y＝2x－1(x∈N*)． 1．用平均变化率比较函数值变化的快慢 (1)定义：函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x2＜x1时)上的平均变化率为＝. (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)理解：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加个单位． (4)应用：比较函数值变化的快慢． [拓展]　(1)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δf＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δf＝f(x1)－f(x2)． (2)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2,2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2,2]上的图像先下降后上升，值域是[0,4]． 2．三种函数增长速度的比较 (1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上． (2)随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢． (3)存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax. 3．增长率问题 增长率问题是日常生活中常见的问题，计算公式为y＝N(1＋p)x，若某月的产值是b，月增长率为p，则此月开始第n个月后的产值是 b(1＋p)n. 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若f(x)＝2x＋1，自变量每增加1个单位，函数值将增加1个单位．(　　) (2)增加速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模型．(　　) (3)指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的增长速度一定比线性增长速度大．(　　) (1)×　(2)√　(3)×　[(1)自变量每增加1个单位，函数值将增加2个单位． (2)线性增长的增长速度是不变的． (3)当a＞1时，指数增长速度比线性增长速度大．] 2．下列函数中，增长速度最快的是(　　) A．y＝2 020x　　　　　　　　 B．y＝x2 020 C．y＝log2 020x D．y＝2 020x A　[比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.] 3．已知增函数f(x)的图像如图，则它的一个可能的解析式为(　　) A．y＝2 B．y＝4－ C．y＝log3(x＋1) D．y＝x(x≥0) B　[由于过(1,2)点，排除C，D；由图像与直线y＝4无限接近，y＜4，排除A，所以选B.] 4．函数y＝f(x)＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]上的平均变化率为________． －8－2Δx　[∵Δf＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2， ∴＝－8－2Δx，即平均变化率为－8－2Δx.] 比较函数值增加的快慢 【例1】　已知函数y＝4x，分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值的变化规律． [思路探究]　按照平均变化率的公式进行计算，再说明变化率． [解]　因为＝＝，所以y＝4x在区间[1,2]上的平均变化率为＝12