4.4 幂函数-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

4.4　幂函数 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握幂函数的概念、图像和性质．(重点) 2．熟悉α＝1,2,3，，－1时的五类幂函数的图像、性质及其特点．(易错点) 3．能利用幂函数的图像与性质解决综合问题．(难点) 1.通过幂函数概念与图像的学习，培养数学抽象素养． 2．借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养. 数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积． 大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积．直至17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势． 1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子．此后由英国数学家渥里斯(Wallis,1616～1703)、牛顿等人分 别引入负指数幂和分数指数幂的概念及符号，从而使幂的概念及符号发展得更完备了．那么，什么是幂？幂与an又有什么关系呢？ 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数． 思考：幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)有什么样的区别？ [提示]　幂函数y＝xα的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量． 2．五个常见幂函数的图像 3．幂函数的图像特征及性质 (1)幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上分布． (2)当α＞0时，图像过点(1,1)，(0,0)，且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数． (3)当α＜0时，幂函数的图像过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴． (4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝x是幂函数．(　　) (2)函数y＝2－x是幂函数．(　　) (3)幂函数的图像都不过第二、四象限．(　　) (1)√　(2)×　(3)×　[(1)函数y＝x符合幂函数的定义，所以是幂函数． (2)幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数． (3)幂函数y＝x2过第二象限．] 2．下列函数中不是幂函数的是(　　) A．y＝　　　　　　 B．y＝x3 C．y＝2x D．y＝x－1 C　[形如y＝xα的函数为幂函数，只有C不是．] 3．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过(　　) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 A　[由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．] 4．已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)的图象过点，则函数f(x)的值域为________． (－∞，0)∪(0，＋∞)　[由题意得＝2α，∴α＝－1. ∴f(x)＝x－1＝≠0， ∴f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．] 幂函数的概念 【例1】　函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式． [解]　根据幂函数定义得， m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求． ∴f(x)的解析式为f(x)＝x3. 1．只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数． 2．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式． 1．已知f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是： (1)正比例函数？(2)反比例函数？ (3)二次函数？(4)幂函数？ [解]　(1)若f(x)为正比例函数，则⇒m＝1. (2)若f(x)为反比例函数， 则⇒m＝－1. (3)若f(x)为二次函数，则⇒m＝. (4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，所以m＝－1±.