4.3 指数函数与对数函数的关系-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

4.3　指数函数与对数函数的关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图像间的对称关系．(重点) 2．利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异． 3．利用指数、对数函数的图像、性质解决一些简单问题．(难点) 1．通过反函数概念及指数函数与对数函数图像间的关系的学习，培养直观想象素养． 2．借助指数函数与对数函数综合应用的学习，提升数学运算、逻辑推理素养. 如图给出了指数函数y＝2x、对数函数y＝log2x的图像，解决下面的问题： 问题1：y＝2x图像上的点(0,1)与y＝log2x图像上的点(1,0)关于哪一条直线对称？ [提示]　关于直线y＝x对称． 问题2：y＝2x图像上任一点关于直线y＝x的对称点都在y＝log2x的图像上吗？反过来，y＝log2x图像上任一点关于直线y＝x的对称点都在y＝2x的图像上吗？ [提示]　都在y＝log2x的图像上，都在y＝2x的图像上． 问题3：y＝2x与y＝log2x的图像是否关于直线y＝x对称？ [提示]　关于直线y＝x对称． 问题4：如何由y＝2x变换出y＝log2x? [提示]　y＝2xx＝log2yy＝log2x. 1．反函数的概念与记法 (1)反函数的概念 一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数． (2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示． 2．反函数的性质 一般地，函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．则 (1)y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同． (2)y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称． (3)单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同． [拓展]　(1)由性质(2)可知，若函数y＝f(x)的图象上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数的图像上；反之，若点(b，a)在y＝f(x)的反函数的图像上，则点(a，b)必在函数y＝f(x)的图像上． (2)特别地，若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图像关于直线y＝x对称，如反比例函数y＝(k≠0)． 思考：如何准确理解反函数的定义？ [提示]　(1)反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域． (2)对于任意一个函数y＝f(x)，不一定总有反函数，只有当一个函数是单调函数时，这个函数才存在反函数．如y＝x2＋1(x∈R)就没有反函数，因为它在R上不是单调函数． (3)反函数也是函数，因为它符合函数的定义． 3．指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数． (2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的图像关于直线y＝x对称． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝x的反函数是y＝logx.(　　) (2)函数y＝log3x的反函数的值域为R.(　　) (3)函数y＝ex的图像与y＝lg x的图像关于y＝x对称．(　　) (1)×　(2)×　(3)×　[(1)函数y＝x的反函数是y＝logx(x>0)． (2)函数y＝log3x的反函数的值域是原函数的定义域，故y＝log3x的反函数的值域为(0，＋∞)． (3)互为反函数的图像关于直线y＝x对称，所以函数y＝ex的图像与y＝ln x的图像关于直线y＝x对称，函数y＝lg x的图像与y＝10x的图像关于直线y＝x对称．] 2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) A．log2x　　　　　　　　 B． C．logx D．2x－2 A　[y＝ax的反函数为f(x)＝logax，则1＝loga2，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.] 3．(教材P32习题4－3AT3改编)若函数y＝f(x)的反函数图像过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图像必过点(　　) A．(1,1) B．(1,5) C．(5,1) D．(5,5) C　[原函数与它的反函数的图像关于直线y＝x对称，因为y＝f(x)的反函数的图像过(1,5)，而(1,5)关于y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图像必过点(5,1)．] 4．函数y＝x＋3的反函数为__________． y＝x－3(x∈R)　[由y＝x＋3，得x＝y－3， x，y互换得y＝x－3，所以原函数的反函数为y＝x－3 (x∈R)．] 求函数的反函数 【例1】　求下列函数的反函数． (1)y＝x；(2)y＝5x＋1；(3)y＝x2(x≤0)． [思路探究]　根据原函数反