4.2.1 对数运算-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

4.2　对数与对数函数 4.2.1　对数运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．(重点) 2．理解对数的底数和真数的取值范围．(易混点) 3．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(难点) 1．通过对数定义及相关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过对数性质的学习，培养数学运算的核心素养. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…. 问题：依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？ [提示]　2x个，3次，8次；由2x＝N可知当N已知时，x的值即为分裂次数． 1．对数的定义及相关概念 (1)对数的概念 在表达式ab＝N(a＞0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数． [拓展]　为什么规定a＞0且a≠1呢？ (1)若a＜0，则当N为某些值时，b的值不存在．如：b＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0，则 ①当N≠0时，b的值不存在．如log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在． ②当N＝0时，b可以是除零以外的任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1，则 ①当N≠1时，b的值不存在．如：log13不存在． ②当N＝1时，b可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a＞0且a≠1. (2)对数恒等式alogaN＝N. (3)常用对数：以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lg_N. (4)自然对数：在科学技术中，常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln_N. 思考：如何准确理解指数式与对数式的关系？ [提示]　(1)指数式和对数式的关系如图所示： (2)指数式和对数式各部分的名称： 式子 名称 a b N 指数式 ab＝N 底数 指数 幂 对数式 logaN＝b 底数 对数 真数 2．对数的性质 性质1 负数和零没有对数 性质2 1的对数是0，即loga1＝0(a＞0且a≠1) 性质3 底数的对数是1，即logaa＝1(a＞0且a≠1) [拓展]　为什么零和负数没有对数？ 因为当a＞0且a≠1时，b＝logaN的充要条件是ab＝N，而a＞0且a≠1时，ab恒大于0，即N＞0，所以零和负数没有对数． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(　　) (2)对数式log32与log23的意义一样．(　　) (3)因为1a＝1，所以log11＝a.(　　) (4)log(－2)(－2)＝1.(　　) (1)×　(2)×　(3)×　(4)×　[(1)因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错； (2)log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错； (3)因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(3)错； (4)因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，真数应大于0，所以(4)错．] 2．把对数式x＝lg 2化为指数式为(　　) A．10x＝2　　　　　　　 B．x10＝2 C．x2＝10 D．2x＝10 A　[根据指数式与对数式的互化可知x＝lg 2化为指数式为10x＝2.] 3．2log23＝________. 3　[由对数恒等式得，2 log23＝3.] 4．若log3(log2x)＝0，则x＝________. 　[∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝30＝1，∴x＝2，即x＝.] 对数的概念 【例1】　(1)若a2 021＝b(a＞0，且a≠1)，则(　　) A．logab＝2 021　　　　　　　 B．logba＝2 021 C．log2 021a＝b D．log2 021b＝a (2)对数式lg(2x－1)中实数x的取值范围是________． (3)对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是______． [思路探究]　(1)利用对数定义进行化简．(2)(3)根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解． (1)A　(2)　(3)(2,3)∪(3，＋∞)　[(1)由对数定义，可以把a2 021＝b化为对数式logab＝2 021. (2)由题意可知对数式lg(2x－1)中的真数大于0，即2x－1>0，解得x>， 所以x的取值范围是. (3)由题意可得解得x>2，且x≠3，所以实数x的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．]