4.1.2 指数函数的性质与图像-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

4.1.2　指数函数的性质与图像 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图像，并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质．(重点) 1.通过指数函数概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助指数函数图像与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养. 将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？ 折叠次数 对应层数 对折后的面积S x＝1 y＝2＝21 S＝ x＝2 y＝4＝22 S＝＝2 x＝3 y＝8＝23 S＝＝3 …… …… …… 由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝ 2x(x∈N*)，对折后的面积S＝x(x∈N*)． 问题：实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？ [提示]　(1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量． 1．指数函数的定义 一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1. 思考：指数函数中为什么规定a>0且a≠1? [提示]　(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义； (2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义； (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1. 2．指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图像和性质 a>1 0<a<1 图像 性 质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1) 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 [拓展]　在同一平面直角坐标系中，底数a的大小决定了图像相对位置的高低： 在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图像高”； 在y轴左侧，图像从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图像低”． 3．比较幂大小的方法 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝－2x是指数函数．(　　) (2)函数y＝2x＋1是指数函数．(　　) (3)函数y＝(－2)x是指数函数．(　　) (4)指数函数的图像一定在x轴上方．(　　) (1)×　(2)×　(3)×　(4)√　[(1)因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数． (2)因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数． (3)因为底数小于0，所以函数y＝(－2)x不是指数函数． (4)因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图像一定在x轴的上方．] 2．指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图所示，则(　　) A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<1 C　[函数y＝ax的图像是下降的，所以0<a<1；函数y＝bx的图像是上升的，所以b>1.] 3．若2x＋1＜1，则x的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1) D　[不等式2x＋1＜1＝20， 因为y＝2x在R上是增函数，所以x＋1＜0， 即x＜－1.] 4．已知函数y＝x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________． 12　[因为y＝x在[－2，－1]上为减函数，所以m＝－1＝3，n＝－2＝9，所以m＋n＝12.] 指数函数的概念 【例1】　(1)下列一定是指数函数的是(　　) A．y＝ax B．y＝xa(a>0且a≠1) C．y＝x D．y＝(a－2)ax (2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　) A．a＝1或a＝3　　　　 B．a＝1 C．a＝3 D．a>0且a≠1 [思路探究]　(1)观察函数解析式的形式，看是否满足指数函数的定义，然后下结论． (2)根据指数函数的定义建立关于a的关系式求解． (1)C　(2)C　[(1)A中a的范围没有限制，故不一定是指数函数；B中y＝xa(a>0且a≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C中y＝x显然是指数函数；D中只有a－2＝1，即a＝3时为指数函数． (2)由指数函数定义知 解得a＝3.] 1．判断一个函数是指数函数的方法 指数函